Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60230 / 83778
↖ ↑ ↗
← S 44.719417°
W 14.573364°		 ← 217.02 m → S 44.719417°
W 14.570618°		 →
↑
217 m
↓
↑
217 m
↓
S 44.721369°
W 14.573364°		 ← 217.02 m →
47 093 m²		 S 44.721369°
W 14.570618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459522247314453 y=0.639179229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459522247314453 × 217)
    floor (0.459522247314453 × 131072)
    floor (60230.5)     		tx = 60230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639179229736328 × 217)
    floor (0.639179229736328 × 131072)
    floor (83778.5)     		ty = 83778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60230 / 83778 ti = "17/60230/83778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60230/83778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60230 ÷ 217
    60230 ÷ 131072     		x = 0.459518432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83778 ÷ 217
    83778 ÷ 131072     		y = 0.639175415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459518432617188 × 2 - 1) × π
    -0.080963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25435319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639175415039062 × 2 - 1) × π
    -0.278350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.874464922869064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25435319} λ = -0.25435319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874464922869064))-π/2
    2×atan(0.417085132698008)-π/2
    2×0.395147629491039-π/2
    0.790295258982078-1.57079632675     		φ = -0.78050107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25435319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.573364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78050107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.719417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60230 KachelY 83778 -0.25435319 -0.78050107 -14.573364 -44.719417
    Oben rechts KachelX + 1 60231 KachelY 83778 -0.25430525 -0.78050107 -14.570618 -44.719417
    Unten links KachelX 60230 KachelY + 1 83779 -0.25435319 -0.78053513 -14.573364 -44.721369
    Unten rechts KachelX + 1 60231 KachelY + 1 83779 -0.25430525 -0.78053513 -14.570618 -44.721369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78050107--0.78053513) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dl = 216.996259999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78050107--0.78053513) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dr = 216.996259999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25435319--0.25430525) × cos(-0.78050107) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.710561056563508 × 6371000     		do = 217.0236365162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25435319--0.25430525) × cos(-0.78053513) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.710537090324581 × 6371000     		du = 217.016316609941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78050107)-sin(-0.78053513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710561056563508-0.710537090324581)×R²
    abs(-0.25430525--0.25435319)×2.39662389270867e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39662389270867e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39662389270867e-05×40589641000000     		ar = 47092.5232638642m²