Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60230 / 83458
↖ ↑ ↗
← S 44.091531°
W 14.573364°		 ← 219.37 m → S 44.091531°
W 14.570618°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 44.093503°
W 14.573364°		 ← 219.36 m →
48 118 m²		 S 44.093503°
W 14.570618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459522247314453 y=0.636737823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459522247314453 × 217)
    floor (0.459522247314453 × 131072)
    floor (60230.5)     		tx = 60230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636737823486328 × 217)
    floor (0.636737823486328 × 131072)
    floor (83458.5)     		ty = 83458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60230 / 83458 ti = "17/60230/83458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60230/83458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60230 ÷ 217
    60230 ÷ 131072     		x = 0.459518432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83458 ÷ 217
    83458 ÷ 131072     		y = 0.636734008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459518432617188 × 2 - 1) × π
    -0.080963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25435319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636734008789062 × 2 - 1) × π
    -0.273468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.859125114990646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25435319} λ = -0.25435319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859125114990646))-π/2
    2×atan(0.423532462476495)-π/2
    2×0.400626973580803-π/2
    0.801253947161606-1.57079632675     		φ = -0.76954238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25435319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.573364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76954238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.091531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60230 KachelY 83458 -0.25435319 -0.76954238 -14.573364 -44.091531
    Oben rechts KachelX + 1 60231 KachelY 83458 -0.25430525 -0.76954238 -14.570618 -44.091531
    Unten links KachelX 60230 KachelY + 1 83459 -0.25435319 -0.76957681 -14.573364 -44.093503
    Unten rechts KachelX + 1 60231 KachelY + 1 83459 -0.25430525 -0.76957681 -14.570618 -44.093503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76954238--0.76957681) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76954238--0.76957681) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25435319--0.25430525) × cos(-0.76954238) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.718229159836713 × 6371000     		do = 219.365672632817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25435319--0.25430525) × cos(-0.76957681) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.718205202788555 × 6371000     		du = 219.358355533655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76954238)-sin(-0.76957681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718229159836713-0.718205202788555)×R²
    abs(-0.25430525--0.25435319)×2.395704815783e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.395704815783e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.395704815783e-05×40589641000000     		ar = 48117.8321418639m²