Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60230 / 30698
↖ ↑ ↗
← N 68.678536°
W 14.573364°		 ← 111.05 m → N 68.678536°
W 14.570618°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
N 68.677537°
W 14.573364°		 ← 111.06 m →
12 332 m²		 N 68.677537°
W 14.570618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459522247314453 y=0.234210968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459522247314453 × 217)
    floor (0.459522247314453 × 131072)
    floor (60230.5)     		tx = 60230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234210968017578 × 217)
    floor (0.234210968017578 × 131072)
    floor (30698.5)     		ty = 30698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60230 / 30698 ti = "17/60230/30698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60230/30698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60230 ÷ 217
    60230 ÷ 131072     		x = 0.459518432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30698 ÷ 217
    30698 ÷ 131072     		y = 0.234207153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459518432617188 × 2 - 1) × π
    -0.080963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25435319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234207153320312 × 2 - 1) × π
    0.531585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.67002570896352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25435319} λ = -0.25435319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67002570896352))-π/2
    2×atan(5.31230436926481)-π/2
    2×1.38473145491933-π/2
    2.76946290983867-1.57079632675     		φ = 1.19866658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25435319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.573364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19866658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.678536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60230 KachelY 30698 -0.25435319 1.19866658 -14.573364 68.678536
    Oben rechts KachelX + 1 60231 KachelY 30698 -0.25430525 1.19866658 -14.570618 68.678536
    Unten links KachelX 60230 KachelY + 1 30699 -0.25435319 1.19864915 -14.573364 68.677537
    Unten rechts KachelX + 1 60231 KachelY + 1 30699 -0.25430525 1.19864915 -14.570618 68.677537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19866658-1.19864915) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19866658-1.19864915) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25435319--0.25430525) × cos(1.19866658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363600231528791 × 6371000     		do = 111.052869778908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25435319--0.25430525) × cos(1.19864915) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.363616468478646 × 6371000     		du = 111.057828961333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19866658)-sin(1.19864915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363600231528791-0.363616468478646)×R²
    abs(-0.25430525--0.25435319)×1.62369498544201e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.62369498544201e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.62369498544201e-05×40589641000000     		ar = 12332.3111856295m²