Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6023 / 7531
↖ ↑ ↗
← N 14.370834°
W 47.658691°		 ← 2 366.77 m → N 14.370834°
W 47.636719°		 →
↑
2 366.89 m
↓
↑
2 366.89 m
↓
N 14.349548°
W 47.658691°		 ← 2 366.99 m →
5 602 141 m²		 N 14.349548°
W 47.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367645263671875 y=0.459686279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367645263671875 × 214)
    floor (0.367645263671875 × 16384)
    floor (6023.5)     		tx = 6023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459686279296875 × 214)
    floor (0.459686279296875 × 16384)
    floor (7531.5)     		ty = 7531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6023 / 7531 ti = "14/6023/7531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6023/7531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6023 ÷ 214
    6023 ÷ 16384     		x = 0.36761474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7531 ÷ 214
    7531 ÷ 16384     		y = 0.45965576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.2647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83180108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45965576171875 × 2 - 1) × π
    0.0806884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.253490325190857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83180108} λ = -0.83180108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253490325190857))-π/2
    2×atan(1.28851491328912)-π/2
    2×0.910807347940643-π/2
    1.82161469588129-1.57079632675     		φ = 0.25081837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83180108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.658691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25081837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.370834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6023 KachelY 7531 -0.83180108 0.25081837 -47.658691 14.370834
    Oben rechts KachelX + 1 6024 KachelY 7531 -0.83141759 0.25081837 -47.636719 14.370834
    Unten links KachelX 6023 KachelY + 1 7532 -0.83180108 0.25044686 -47.658691 14.349548
    Unten rechts KachelX + 1 6024 KachelY + 1 7532 -0.83141759 0.25044686 -47.636719 14.349548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25081837-0.25044686) × R
    0.000371510000000019 × 6371000     		dl = 2366.89021000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25081837-0.25044686) × R
    0.000371510000000019 × 6371000     		dr = 2366.89021000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83180108--0.83141759) × cos(0.25081837) × R
    0.000383489999999931 × 0.968709629300533 × 6371000     		do = 2366.76569352205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83180108--0.83141759) × cos(0.25044686) × R
    0.000383489999999931 × 0.968801770043007 × 6371000     		du = 2366.99081314683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25081837)-sin(0.25044686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968709629300533-0.968801770043007)×R²
    abs(-0.83141759--0.83180108)×9.21407424746556e-05×R²
    0.000383489999999931×9.21407424746556e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.21407424746556e-05×40589641000000     		ar = 5602141.03051315m²