Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60229 / 30694
↖ ↑ ↗
← N 68.682531°
W 14.576111°		 ← 111.03 m → N 68.682531°
W 14.573364°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
N 68.681532°
W 14.576111°		 ← 111.04 m →
12 330 m²		 N 68.681532°
W 14.573364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459514617919922 y=0.234180450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459514617919922 × 217)
    floor (0.459514617919922 × 131072)
    floor (60229.5)     		tx = 60229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234180450439453 × 217)
    floor (0.234180450439453 × 131072)
    floor (30694.5)     		ty = 30694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60229 / 30694 ti = "17/60229/30694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60229/30694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60229 ÷ 217
    60229 ÷ 131072     		x = 0.459510803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30694 ÷ 217
    30694 ÷ 131072     		y = 0.234176635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459510803222656 × 2 - 1) × π
    -0.0809783935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25440113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234176635742188 × 2 - 1) × π
    0.531646728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.670217456562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25440113} λ = -0.25440113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.670217456562))-π/2
    2×atan(5.31332308853538)-π/2
    2×1.38476631154144-π/2
    2.76953262308287-1.57079632675     		φ = 1.19873630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25440113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.576111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19873630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.682531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60229 KachelY 30694 -0.25440113 1.19873630 -14.576111 68.682531
    Oben rechts KachelX + 1 60230 KachelY 30694 -0.25435319 1.19873630 -14.573364 68.682531
    Unten links KachelX 60229 KachelY + 1 30695 -0.25440113 1.19871887 -14.576111 68.681532
    Unten rechts KachelX + 1 60230 KachelY + 1 30695 -0.25435319 1.19871887 -14.573364 68.681532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19873630-1.19871887) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19873630-1.19871887) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25440113--0.25435319) × cos(1.19873630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363535282624788 × 6371000     		do = 111.033032711712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25440113--0.25435319) × cos(1.19871887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363551520016467 × 6371000     		du = 111.037992029081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19873630)-sin(1.19871887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363535282624788-0.363551520016467)×R²
    abs(-0.25435319--0.25440113)×1.62373916789416e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62373916789416e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62373916789416e-05×40589641000000     		ar = 12330.1083558331m²