Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60228 / 34117
↖ ↑ ↗
← N 64.992134°
W 14.578857°		 ← 129.09 m → N 64.992134°
W 14.576111°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
N 64.990973°
W 14.578857°		 ← 129.10 m →
16 663 m²		 N 64.990973°
W 14.576111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459506988525391 y=0.260295867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459506988525391 × 217)
    floor (0.459506988525391 × 131072)
    floor (60228.5)     		tx = 60228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260295867919922 × 217)
    floor (0.260295867919922 × 131072)
    floor (34117.5)     		ty = 34117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60228 / 34117 ti = "17/60228/34117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60228/34117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60228 ÷ 217
    60228 ÷ 131072     		x = 0.459503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34117 ÷ 217
    34117 ÷ 131072     		y = 0.260292053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.08099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25444906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260292053222656 × 2 - 1) × π
    0.479415893554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.50612944916254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25444906} λ = -0.25444906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50612944916254))-π/2
    2×atan(4.50924371679005)-π/2
    2×1.35256152948804-π/2
    2.70512305897607-1.57079632675     		φ = 1.13432673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25444906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13432673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.992134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60228 KachelY 34117 -0.25444906 1.13432673 -14.578857 64.992134
    Oben rechts KachelX + 1 60229 KachelY 34117 -0.25440113 1.13432673 -14.576111 64.992134
    Unten links KachelX 60228 KachelY + 1 34118 -0.25444906 1.13430647 -14.578857 64.990973
    Unten rechts KachelX + 1 60229 KachelY + 1 34118 -0.25440113 1.13430647 -14.576111 64.990973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13432673-1.13430647) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dl = 129.076459999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13432673-1.13430647) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dr = 129.076459999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25444906--0.25440113) × cos(1.13432673) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422742679131433 × 6371000     		do = 129.089562667292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25444906--0.25440113) × cos(1.13430647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422761039664805 × 6371000     		du = 129.095169277034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13432673)-sin(1.13430647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422742679131433-0.422761039664805)×R²
    abs(-0.25440113--0.25444906)×1.83605333722858e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83605333722858e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83605333722858e-05×40589641000000     		ar = 16662.785613191m²