Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60227 / 30697
↖ ↑ ↗
← N 68.679535°
W 14.581604°		 ← 111.05 m → N 68.679535°
W 14.578857°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
N 68.678536°
W 14.581604°		 ← 111.05 m →
12 332 m²		 N 68.678536°
W 14.578857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459499359130859 y=0.234203338623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459499359130859 × 217)
    floor (0.459499359130859 × 131072)
    floor (60227.5)     		tx = 60227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234203338623047 × 217)
    floor (0.234203338623047 × 131072)
    floor (30697.5)     		ty = 30697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60227 / 30697 ti = "17/60227/30697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60227/30697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60227 ÷ 217
    60227 ÷ 131072     		x = 0.459495544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30697 ÷ 217
    30697 ÷ 131072     		y = 0.234199523925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459495544433594 × 2 - 1) × π
    -0.0810089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25449700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234199523925781 × 2 - 1) × π
    0.531600952148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.67007364586314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25449700} λ = -0.25449700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67007364586314))-π/2
    2×atan(5.31255903076991)-π/2
    2×1.38474016965858-π/2
    2.76948033931716-1.57079632675     		φ = 1.19868401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25449700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.581604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19868401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.679535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60227 KachelY 30697 -0.25449700 1.19868401 -14.581604 68.679535
    Oben rechts KachelX + 1 60228 KachelY 30697 -0.25444906 1.19868401 -14.578857 68.679535
    Unten links KachelX 60227 KachelY + 1 30698 -0.25449700 1.19866658 -14.581604 68.678536
    Unten rechts KachelX + 1 60228 KachelY + 1 30698 -0.25444906 1.19866658 -14.578857 68.678536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19868401-1.19866658) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19868401-1.19866658) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25449700--0.25444906) × cos(1.19868401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363583994468473 × 6371000     		do = 111.047910562617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25449700--0.25444906) × cos(1.19866658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363600231528791 × 6371000     		du = 111.05286977878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19868401)-sin(1.19866658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363583994468473-0.363600231528791)×R²
    abs(-0.25444906--0.25449700)×1.62370603180029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62370603180029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62370603180029e-05×40589641000000     		ar = 12331.7604840567m²