Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60226 / 40550
↖ ↑ ↗
← N 56.404784°
W 14.584351°		 ← 169 m → N 56.404784°
W 14.581604°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
N 56.403264°
W 14.584351°		 ← 169.01 m →
28 554 m²		 N 56.403264°
W 14.581604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459491729736328 y=0.309375762939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459491729736328 × 217)
    floor (0.459491729736328 × 131072)
    floor (60226.5)     		tx = 60226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309375762939453 × 217)
    floor (0.309375762939453 × 131072)
    floor (40550.5)     		ty = 40550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60226 / 40550 ti = "17/60226/40550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60226/40550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60226 ÷ 217
    60226 ÷ 131072     		x = 0.459487915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40550 ÷ 217
    40550 ÷ 131072     		y = 0.309371948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459487915039062 × 2 - 1) × π
    -0.081024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25454494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309371948242188 × 2 - 1) × π
    0.381256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19775137390672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25454494} λ = -0.25454494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19775137390672))-π/2
    2×atan(3.31265960868904)-π/2
    2×1.27762276074929-π/2
    2.55524552149858-1.57079632675     		φ = 0.98444919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25454494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.584351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98444919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.404784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60226 KachelY 40550 -0.25454494 0.98444919 -14.584351 56.404784
    Oben rechts KachelX + 1 60227 KachelY 40550 -0.25449700 0.98444919 -14.581604 56.404784
    Unten links KachelX 60226 KachelY + 1 40551 -0.25454494 0.98442267 -14.584351 56.403264
    Unten rechts KachelX + 1 60227 KachelY + 1 40551 -0.25449700 0.98442267 -14.581604 56.403264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98444919-0.98442267) × R
    2.65199999999188e-05 × 6371000     		dl = 168.958919999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98444919-0.98442267) × R
    2.65199999999188e-05 × 6371000     		dr = 168.958919999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25454494--0.25449700) × cos(0.98444919) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553322005158329 × 6371000     		do = 168.998782883851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25454494--0.25449700) × cos(0.98442267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553344095260296 × 6371000     		du = 169.005529769591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98444919)-sin(0.98442267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553322005158329-0.553344095260296)×R²
    abs(-0.25449700--0.25454494)×2.20901019675201e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20901019675201e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20901019675201e-05×40589641000000     		ar = 28554.4218122165m²