Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60226 / 30315
↖ ↑ ↗
← N 69.057767°
W 14.584351°		 ← 109.17 m → N 69.057767°
W 14.581604°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 69.056786°
W 14.584351°		 ← 109.17 m →
11 914 m²		 N 69.056786°
W 14.581604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459491729736328 y=0.231288909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459491729736328 × 217)
    floor (0.459491729736328 × 131072)
    floor (60226.5)     		tx = 60226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231288909912109 × 217)
    floor (0.231288909912109 × 131072)
    floor (30315.5)     		ty = 30315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60226 / 30315 ti = "17/60226/30315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60226/30315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60226 ÷ 217
    60226 ÷ 131072     		x = 0.459487915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30315 ÷ 217
    30315 ÷ 131072     		y = 0.231285095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459487915039062 × 2 - 1) × π
    -0.081024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25454494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231285095214844 × 2 - 1) × π
    0.537429809570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.688385541518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25454494} λ = -0.25454494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.688385541518))-π/2
    2×atan(5.4107382376131)-π/2
    2×1.38804086865494-π/2
    2.77608173730987-1.57079632675     		φ = 1.20528541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25454494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.584351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20528541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.057767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60226 KachelY 30315 -0.25454494 1.20528541 -14.584351 69.057767
    Oben rechts KachelX + 1 60227 KachelY 30315 -0.25449700 1.20528541 -14.581604 69.057767
    Unten links KachelX 60226 KachelY + 1 30316 -0.25454494 1.20526828 -14.584351 69.056786
    Unten rechts KachelX + 1 60227 KachelY + 1 30316 -0.25449700 1.20526828 -14.581604 69.056786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20528541-1.20526828) × R
    1.71299999998098e-05 × 6371000     		dl = 109.135229998788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20528541-1.20526828) × R
    1.71299999998098e-05 × 6371000     		dr = 109.135229998788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25454494--0.25449700) × cos(1.20528541) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357426507385937 × 6371000     		do = 109.16725551402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25454494--0.25449700) × cos(1.20526828) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357442505747413 × 6371000     		du = 109.172141825413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20528541)-sin(1.20526828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357426507385937-0.357442505747413)×R²
    abs(-0.25449700--0.25454494)×1.59983614764769e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59983614764769e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59983614764769e-05×40589641000000     		ar = 11914.2601734421m²