Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60225 / 40769
↖ ↑ ↗
← N 56.070502°
W 14.587097°		 ← 170.44 m → N 56.070502°
W 14.584351°		 →
↑
170.49 m
↓
↑
170.49 m
↓
N 56.068969°
W 14.587097°		 ← 170.45 m →
29 059 m²		 N 56.068969°
W 14.584351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459484100341797 y=0.311046600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459484100341797 × 217)
    floor (0.459484100341797 × 131072)
    floor (60225.5)     		tx = 60225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311046600341797 × 217)
    floor (0.311046600341797 × 131072)
    floor (40769.5)     		ty = 40769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60225 / 40769 ti = "17/60225/40769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60225/40769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60225 ÷ 217
    60225 ÷ 131072     		x = 0.459480285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40769 ÷ 217
    40769 ÷ 131072     		y = 0.311042785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459480285644531 × 2 - 1) × π
    -0.0810394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25459287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311042785644531 × 2 - 1) × π
    0.377914428710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.18725319288993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25459287} λ = -0.25459287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18725319288993))-π/2
    2×atan(3.27806461843576)-π/2
    2×1.27470560376707-π/2
    2.54941120753414-1.57079632675     		φ = 0.97861488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25459287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.587097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97861488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.070502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60225 KachelY 40769 -0.25459287 0.97861488 -14.587097 56.070502
    Oben rechts KachelX + 1 60226 KachelY 40769 -0.25454494 0.97861488 -14.584351 56.070502
    Unten links KachelX 60225 KachelY + 1 40770 -0.25459287 0.97858812 -14.587097 56.068969
    Unten rechts KachelX + 1 60226 KachelY + 1 40770 -0.25454494 0.97858812 -14.584351 56.068969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97861488-0.97858812) × R
    2.67600000000145e-05 × 6371000     		dl = 170.487960000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97861488-0.97858812) × R
    2.67600000000145e-05 × 6371000     		dr = 170.487960000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25459287--0.25454494) × cos(0.97861488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.558172350576418 × 6371000     		do = 170.444642061991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25459287--0.25454494) × cos(0.97858812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.558194553818392 × 6371000     		du = 170.451422089033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97861488)-sin(0.97858812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558172350576418-0.558194553818392)×R²
    abs(-0.25454494--0.25459287)×2.22032419737728e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22032419737728e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22032419737728e-05×40589641000000     		ar = 29059.3372762103m²