Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60225 / 34235
↖ ↑ ↗
← N 64.854773°
W 14.587097°		 ← 129.75 m → N 64.854773°
W 14.584351°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
N 64.853606°
W 14.587097°		 ← 129.76 m →
16 839 m²		 N 64.853606°
W 14.584351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459484100341797 y=0.261196136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459484100341797 × 217)
    floor (0.459484100341797 × 131072)
    floor (60225.5)     		tx = 60225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261196136474609 × 217)
    floor (0.261196136474609 × 131072)
    floor (34235.5)     		ty = 34235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60225 / 34235 ti = "17/60225/34235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60225/34235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60225 ÷ 217
    60225 ÷ 131072     		x = 0.459480285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34235 ÷ 217
    34235 ÷ 131072     		y = 0.261192321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459480285644531 × 2 - 1) × π
    -0.0810394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25459287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261192321777344 × 2 - 1) × π
    0.477615356445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.50047289500738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25459287} λ = -0.25459287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50047289500738))-π/2
    2×atan(4.48380893992241)-π/2
    2×1.35136282740961-π/2
    2.70272565481922-1.57079632675     		φ = 1.13192933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25459287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.587097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13192933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.854773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60225 KachelY 34235 -0.25459287 1.13192933 -14.587097 64.854773
    Oben rechts KachelX + 1 60226 KachelY 34235 -0.25454494 1.13192933 -14.584351 64.854773
    Unten links KachelX 60225 KachelY + 1 34236 -0.25459287 1.13190896 -14.587097 64.853606
    Unten rechts KachelX + 1 60226 KachelY + 1 34236 -0.25454494 1.13190896 -14.584351 64.853606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13192933-1.13190896) × R
    2.03699999998808e-05 × 6371000     		dl = 129.77726999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13192933-1.13190896) × R
    2.03699999998808e-05 × 6371000     		dr = 129.77726999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25459287--0.25454494) × cos(1.13192933) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.424914105362645 × 6371000     		do = 129.752633789251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25459287--0.25454494) × cos(1.13190896) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.42493254488441 × 6371000     		du = 129.758264519049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13192933)-sin(1.13190896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424914105362645-0.42493254488441)×R²
    abs(-0.25454494--0.25459287)×1.84395217650568e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84395217650568e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84395217650568e-05×40589641000000     		ar = 16839.3079593412m²