Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60223 / 85443
↖ ↑ ↗
← S 47.877671°
W 14.592590°		 ← 204.85 m → S 47.877671°
W 14.589844°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
S 47.879513°
W 14.592590°		 ← 204.85 m →
41 959 m²		 S 47.879513°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459468841552734 y=0.651882171630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459468841552734 × 217)
    floor (0.459468841552734 × 131072)
    floor (60223.5)     		tx = 60223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651882171630859 × 217)
    floor (0.651882171630859 × 131072)
    floor (85443.5)     		ty = 85443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60223 / 85443 ti = "17/60223/85443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60223/85443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60223 ÷ 217
    60223 ÷ 131072     		x = 0.459465026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85443 ÷ 217
    85443 ÷ 131072     		y = 0.651878356933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459465026855469 × 2 - 1) × π
    -0.0810699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25468875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651878356933594 × 2 - 1) × π
    -0.303756713867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.954279860736458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25468875} λ = -0.25468875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954279860736458))-π/2
    2×atan(0.385089362693212)-π/2
    2×0.367586666662603-π/2
    0.735173333325207-1.57079632675     		φ = -0.83562299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25468875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.592590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83562299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.877671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60223 KachelY 85443 -0.25468875 -0.83562299 -14.592590 -47.877671
    Oben rechts KachelX + 1 60224 KachelY 85443 -0.25464081 -0.83562299 -14.589844 -47.877671
    Unten links KachelX 60223 KachelY + 1 85444 -0.25468875 -0.83565514 -14.592590 -47.879513
    Unten rechts KachelX + 1 60224 KachelY + 1 85444 -0.25464081 -0.83565514 -14.589844 -47.879513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83562299--0.83565514) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83562299--0.83565514) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25468875--0.25464081) × cos(-0.83562299) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.670715732128299 × 6371000     		do = 204.85384881503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25468875--0.25464081) × cos(-0.83565514) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.670691885660339 × 6371000     		du = 204.846565489907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83562299)-sin(-0.83565514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670715732128299-0.670691885660339)×R²
    abs(-0.25464081--0.25468875)×2.38464679597206e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38464679597206e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38464679597206e-05×40589641000000     		ar = 41958.9865366959m²