Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60223 / 40768
↖ ↑ ↗
← N 56.072036°
W 14.592590°		 ← 170.47 m → N 56.072036°
W 14.589844°		 →
↑
170.49 m
↓
↑
170.49 m
↓
N 56.070502°
W 14.592590°		 ← 170.48 m →
29 064 m²		 N 56.070502°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459468841552734 y=0.311038970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459468841552734 × 217)
    floor (0.459468841552734 × 131072)
    floor (60223.5)     		tx = 60223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311038970947266 × 217)
    floor (0.311038970947266 × 131072)
    floor (40768.5)     		ty = 40768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60223 / 40768 ti = "17/60223/40768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60223/40768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60223 ÷ 217
    60223 ÷ 131072     		x = 0.459465026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40768 ÷ 217
    40768 ÷ 131072     		y = 0.31103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459465026855469 × 2 - 1) × π
    -0.0810699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25468875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31103515625 × 2 - 1) × π
    0.3779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18730112978955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25468875} λ = -0.25468875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18730112978955))-π/2
    2×atan(3.27822176245679)-π/2
    2×1.27471898202697-π/2
    2.54943796405393-1.57079632675     		φ = 0.97864164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25468875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.592590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97864164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.072036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60223 KachelY 40768 -0.25468875 0.97864164 -14.592590 56.072036
    Oben rechts KachelX + 1 60224 KachelY 40768 -0.25464081 0.97864164 -14.589844 56.072036
    Unten links KachelX 60223 KachelY + 1 40769 -0.25468875 0.97861488 -14.592590 56.070502
    Unten rechts KachelX + 1 60224 KachelY + 1 40769 -0.25464081 0.97861488 -14.589844 56.070502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97864164-0.97861488) × R
    2.67600000000145e-05 × 6371000     		dl = 170.487960000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97864164-0.97861488) × R
    2.67600000000145e-05 × 6371000     		dr = 170.487960000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25468875--0.25464081) × cos(0.97864164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558150146934739 × 6371000     		do = 170.473421658737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25468875--0.25464081) × cos(0.97861488) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558172350576418 × 6371000     		du = 170.480203222428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97864164)-sin(0.97861488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558150146934739-0.558172350576418)×R²
    abs(-0.25464081--0.25468875)×2.22036416795968e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22036416795968e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22036416795968e-05×40589641000000     		ar = 29064.2439820407m²