Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60223 / 40513
↖ ↑ ↗
← N 56.460973°
W 14.592590°		 ← 168.75 m → N 56.460973°
W 14.589844°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
N 56.459455°
W 14.592590°		 ← 168.76 m →
28 480 m²		 N 56.459455°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459468841552734 y=0.309093475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459468841552734 × 217)
    floor (0.459468841552734 × 131072)
    floor (60223.5)     		tx = 60223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309093475341797 × 217)
    floor (0.309093475341797 × 131072)
    floor (40513.5)     		ty = 40513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60223 / 40513 ti = "17/60223/40513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60223/40513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60223 ÷ 217
    60223 ÷ 131072     		x = 0.459465026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40513 ÷ 217
    40513 ÷ 131072     		y = 0.309089660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459465026855469 × 2 - 1) × π
    -0.0810699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25468875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309089660644531 × 2 - 1) × π
    0.381820678710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.19952503919267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25468875} λ = -0.25468875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19952503919267))-π/2
    2×atan(3.31854037175208)-π/2
    2×1.2781131023775-π/2
    2.556226204755-1.57079632675     		φ = 0.98542988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25468875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.592590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98542988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.460973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60223 KachelY 40513 -0.25468875 0.98542988 -14.592590 56.460973
    Oben rechts KachelX + 1 60224 KachelY 40513 -0.25464081 0.98542988 -14.589844 56.460973
    Unten links KachelX 60223 KachelY + 1 40514 -0.25468875 0.98540339 -14.592590 56.459455
    Unten rechts KachelX + 1 60224 KachelY + 1 40514 -0.25464081 0.98540339 -14.589844 56.459455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98542988-0.98540339) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98542988-0.98540339) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25468875--0.25464081) × cos(0.98542988) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552504856369566 × 6371000     		do = 168.749204610353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25468875--0.25464081) × cos(0.98540339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552526935847087 × 6371000     		du = 168.755948251114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98542988)-sin(0.98540339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552504856369566-0.552526935847087)×R²
    abs(-0.25464081--0.25468875)×2.20794775216415e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20794775216415e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20794775216415e-05×40589641000000     		ar = 28479.9993826846m²