Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60221 / 40102
↖ ↑ ↗
← N 57.079560°
W 14.598083°		 ← 165.99 m → N 57.079560°
W 14.595337°		 →
↑
165.96 m
↓
↑
165.96 m
↓
N 57.078068°
W 14.598083°		 ← 166 m →
27 549 m²		 N 57.078068°
W 14.595337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459453582763672 y=0.305957794189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459453582763672 × 217)
    floor (0.459453582763672 × 131072)
    floor (60221.5)     		tx = 60221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305957794189453 × 217)
    floor (0.305957794189453 × 131072)
    floor (40102.5)     		ty = 40102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60221 / 40102 ti = "17/60221/40102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60221/40102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60221 ÷ 217
    60221 ÷ 131072     		x = 0.459449768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40102 ÷ 217
    40102 ÷ 131072     		y = 0.305953979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459449768066406 × 2 - 1) × π
    -0.0811004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25478462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305953979492188 × 2 - 1) × π
    0.388092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21922710493651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25478462} λ = -0.25478462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21922710493651))-π/2
    2×atan(3.38457080437902)-π/2
    2×1.28351129422854-π/2
    2.56702258845708-1.57079632675     		φ = 0.99622626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25478462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.598083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99622626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.079560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60221 KachelY 40102 -0.25478462 0.99622626 -14.598083 57.079560
    Oben rechts KachelX + 1 60222 KachelY 40102 -0.25473668 0.99622626 -14.595337 57.079560
    Unten links KachelX 60221 KachelY + 1 40103 -0.25478462 0.99620021 -14.598083 57.078068
    Unten rechts KachelX + 1 60222 KachelY + 1 40103 -0.25473668 0.99620021 -14.595337 57.078068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99622626-0.99620021) × R
    2.60499999999997e-05 × 6371000     		dl = 165.964549999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99622626-0.99620021) × R
    2.60499999999997e-05 × 6371000     		dr = 165.964549999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25478462--0.25473668) × cos(0.99622626) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.543473943796573 × 6371000     		do = 165.99093145487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25478462--0.25473668) × cos(0.99620021) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.543495810660446 × 6371000     		du = 165.99761015795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99622626)-sin(0.99620021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543473943796573-0.543495810660446)×R²
    abs(-0.25473668--0.25478462)×2.18668638726216e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18668638726216e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18668638726216e-05×40589641000000     		ar = 27549.1644585663m²