Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60220 / 40556
↖ ↑ ↗
← N 56.395665°
W 14.600830°		 ← 169.04 m → N 56.395665°
W 14.598083°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
N 56.394144°
W 14.600830°		 ← 169.05 m →
28 572 m²		 N 56.394144°
W 14.598083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459445953369141 y=0.309421539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459445953369141 × 217)
    floor (0.459445953369141 × 131072)
    floor (60220.5)     		tx = 60220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309421539306641 × 217)
    floor (0.309421539306641 × 131072)
    floor (40556.5)     		ty = 40556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60220 / 40556 ti = "17/60220/40556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60220/40556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60220 ÷ 217
    60220 ÷ 131072     		x = 0.459442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40556 ÷ 217
    40556 ÷ 131072     		y = 0.309417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.08111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25483256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309417724609375 × 2 - 1) × π
    0.38116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.197463752509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25483256} λ = -0.25483256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.197463752509))-π/2
    2×atan(3.31170695391073)-π/2
    2×1.27754317759308-π/2
    2.55508635518616-1.57079632675     		φ = 0.98429003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25483256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.600830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98429003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.395665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60220 KachelY 40556 -0.25483256 0.98429003 -14.600830 56.395665
    Oben rechts KachelX + 1 60221 KachelY 40556 -0.25478462 0.98429003 -14.598083 56.395665
    Unten links KachelX 60220 KachelY + 1 40557 -0.25483256 0.98426350 -14.600830 56.394144
    Unten rechts KachelX + 1 60221 KachelY + 1 40557 -0.25478462 0.98426350 -14.598083 56.394144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98429003-0.98426350) × R
    2.65300000000801e-05 × 6371000     		dl = 169.02263000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98429003-0.98426350) × R
    2.65300000000801e-05 × 6371000     		dr = 169.02263000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25483256--0.25478462) × cos(0.98429003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553454573247409 × 6371000     		do = 169.039272590363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25483256--0.25478462) × cos(0.98426350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553476669342167 × 6371000     		du = 169.046021306456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98429003)-sin(0.98426350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553454573247409-0.553476669342167)×R²
    abs(-0.25478462--0.25483256)×2.20960947583393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20960947583393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20960947583393e-05×40589641000000     		ar = 28572.0327711735m²