Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60218 / 30328
↖ ↑ ↗
← N 69.045001°
W 14.606323°		 ← 109.21 m → N 69.045001°
W 14.603577°		 →
↑
109.20 m
↓
↑
109.20 m
↓
N 69.044019°
W 14.606323°		 ← 109.21 m →
11 926 m²		 N 69.044019°
W 14.603577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459430694580078 y=0.231388092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459430694580078 × 217)
    floor (0.459430694580078 × 131072)
    floor (60218.5)     		tx = 60218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231388092041016 × 217)
    floor (0.231388092041016 × 131072)
    floor (30328.5)     		ty = 30328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60218 / 30328 ti = "17/60218/30328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60218/30328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60218 ÷ 217
    60218 ÷ 131072     		x = 0.459426879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30328 ÷ 217
    30328 ÷ 131072     		y = 0.23138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459426879882812 × 2 - 1) × π
    -0.081146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25492843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23138427734375 × 2 - 1) × π
    0.5372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68776236182294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25492843} λ = -0.25492843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68776236182294))-π/2
    2×atan(5.40736742582795)-π/2
    2×1.38792946576924-π/2
    2.77585893153847-1.57079632675     		φ = 1.20506260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25492843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.606323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20506260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.045001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60218 KachelY 30328 -0.25492843 1.20506260 -14.606323 69.045001
    Oben rechts KachelX + 1 60219 KachelY 30328 -0.25488050 1.20506260 -14.603577 69.045001
    Unten links KachelX 60218 KachelY + 1 30329 -0.25492843 1.20504546 -14.606323 69.044019
    Unten rechts KachelX + 1 60219 KachelY + 1 30329 -0.25488050 1.20504546 -14.603577 69.044019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20506260-1.20504546) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dl = 109.198939999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20506260-1.20504546) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dr = 109.198939999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25492843--0.25488050) × cos(1.20506260) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357634589966014 × 6371000     		do = 109.20802439018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25492843--0.25488050) × cos(1.20504546) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357650596301415 × 6371000     		du = 109.212912117251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20506260)-sin(1.20504546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357634589966014-0.357650596301415)×R²
    abs(-0.25488050--0.25492843)×1.60063354013862e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.60063354013862e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.60063354013862e-05×40589641000000     		ar = 11925.6673705319m²