Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60217 / 30311
↖ ↑ ↗
← N 69.061694°
W 14.609070°		 ← 109.15 m → N 69.061694°
W 14.606323°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 69.060712°
W 14.609070°		 ← 109.15 m →
11 912 m²		 N 69.060712°
W 14.606323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459423065185547 y=0.231258392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459423065185547 × 217)
    floor (0.459423065185547 × 131072)
    floor (60217.5)     		tx = 60217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231258392333984 × 217)
    floor (0.231258392333984 × 131072)
    floor (30311.5)     		ty = 30311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60217 / 30311 ti = "17/60217/30311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60217/30311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60217 ÷ 217
    60217 ÷ 131072     		x = 0.459419250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30311 ÷ 217
    30311 ÷ 131072     		y = 0.231254577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459419250488281 × 2 - 1) × π
    -0.0811614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25497637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231254577636719 × 2 - 1) × π
    0.537490844726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.68857728911648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25497637} λ = -0.25497637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68857728911648))-π/2
    2×atan(5.41177583315121)-π/2
    2×1.3880751334239-π/2
    2.7761502668478-1.57079632675     		φ = 1.20535394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25497637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.609070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20535394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.061694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60217 KachelY 30311 -0.25497637 1.20535394 -14.609070 69.061694
    Oben rechts KachelX + 1 60218 KachelY 30311 -0.25492843 1.20535394 -14.606323 69.061694
    Unten links KachelX 60217 KachelY + 1 30312 -0.25497637 1.20533681 -14.609070 69.060712
    Unten rechts KachelX + 1 60218 KachelY + 1 30312 -0.25492843 1.20533681 -14.606323 69.060712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20535394-1.20533681) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20535394-1.20533681) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25497637--0.25492843) × cos(1.20535394) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357362503551598 × 6371000     		do = 109.147707095554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25497637--0.25492843) × cos(1.20533681) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357378502332637 × 6371000     		du = 109.152593535092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20535394)-sin(1.20533681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357362503551598-0.357378502332637)×R²
    abs(-0.25492843--0.25497637)×1.59987810382511e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59987810382511e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59987810382511e-05×40589641000000     		ar = 11912.1267594906m²