Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60217 / 30267
↖ ↑ ↗
← N 69.104838°
W 14.609070°		 ← 108.93 m → N 69.104838°
W 14.606323°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
N 69.103859°
W 14.609070°		 ← 108.94 m →
11 868 m²		 N 69.103859°
W 14.606323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459423065185547 y=0.230922698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459423065185547 × 217)
    floor (0.459423065185547 × 131072)
    floor (60217.5)     		tx = 60217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230922698974609 × 217)
    floor (0.230922698974609 × 131072)
    floor (30267.5)     		ty = 30267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60217 / 30267 ti = "17/60217/30267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60217/30267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60217 ÷ 217
    60217 ÷ 131072     		x = 0.459419250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30267 ÷ 217
    30267 ÷ 131072     		y = 0.230918884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459419250488281 × 2 - 1) × π
    -0.0811614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25497637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230918884277344 × 2 - 1) × π
    0.538162231445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.69068651269976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25497637} λ = -0.25497637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69068651269976))-π/2
    2×atan(5.42320252485346)-π/2
    2×1.38845164112731-π/2
    2.77690328225461-1.57079632675     		φ = 1.20610696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25497637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.609070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20610696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.104838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60217 KachelY 30267 -0.25497637 1.20610696 -14.609070 69.104838
    Oben rechts KachelX + 1 60218 KachelY 30267 -0.25492843 1.20610696 -14.606323 69.104838
    Unten links KachelX 60217 KachelY + 1 30268 -0.25497637 1.20608986 -14.609070 69.103859
    Unten rechts KachelX + 1 60218 KachelY + 1 30268 -0.25492843 1.20608986 -14.606323 69.103859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20610696-1.20608986) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20610696-1.20608986) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25497637--0.25492843) × cos(1.20610696) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356659107402132 × 6371000     		do = 108.93287180609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25497637--0.25492843) × cos(1.20608986) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356675082761584 × 6371000     		du = 108.937751092073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20610696)-sin(1.20608986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356659107402132-0.356675082761584)×R²
    abs(-0.25492843--0.25497637)×1.59753594523027e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59753594523027e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59753594523027e-05×40589641000000     		ar = 11867.859464363m²