Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60216 / 30312
↖ ↑ ↗
← N 69.060712°
W 14.611817°		 ← 109.15 m → N 69.060712°
W 14.609070°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 69.059731°
W 14.611817°		 ← 109.16 m →
11 913 m²		 N 69.059731°
W 14.609070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459415435791016 y=0.231266021728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459415435791016 × 217)
    floor (0.459415435791016 × 131072)
    floor (60216.5)     		tx = 60216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231266021728516 × 217)
    floor (0.231266021728516 × 131072)
    floor (30312.5)     		ty = 30312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60216 / 30312 ti = "17/60216/30312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60216/30312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60216 ÷ 217
    60216 ÷ 131072     		x = 0.45941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30312 ÷ 217
    30312 ÷ 131072     		y = 0.23126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45941162109375 × 2 - 1) × π
    -0.0811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25502431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23126220703125 × 2 - 1) × π
    0.5374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68852935221686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25502431} λ = -0.25502431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68852935221686))-π/2
    2×atan(5.41151641561422)-π/2
    2×1.38806656780693-π/2
    2.77613313561385-1.57079632675     		φ = 1.20533681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25502431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.611817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20533681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.060712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60216 KachelY 30312 -0.25502431 1.20533681 -14.611817 69.060712
    Oben rechts KachelX + 1 60217 KachelY 30312 -0.25497637 1.20533681 -14.609070 69.060712
    Unten links KachelX 60216 KachelY + 1 30313 -0.25502431 1.20531968 -14.611817 69.059731
    Unten rechts KachelX + 1 60217 KachelY + 1 30313 -0.25497637 1.20531968 -14.609070 69.059731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20533681-1.20531968) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20533681-1.20531968) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25502431--0.25497637) × cos(1.20533681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357378502332637 × 6371000     		do = 109.152593534966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25502431--0.25497637) × cos(1.20531968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357394501008807 × 6371000     		du = 109.157479942474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20533681)-sin(1.20531968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357378502332637-0.357394501008807)×R²
    abs(-0.25497637--0.25502431)×1.59986761701925e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59986761701925e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59986761701925e-05×40589641000000     		ar = 11912.660040647m²