Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60215 / 85521
↖ ↑ ↗
← S 48.021162°
W 14.614563°		 ← 204.24 m → S 48.021162°
W 14.611817°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
S 48.022998°
W 14.614563°		 ← 204.24 m →
41 717 m²		 S 48.022998°
W 14.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459407806396484 y=0.652477264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459407806396484 × 217)
    floor (0.459407806396484 × 131072)
    floor (60215.5)     		tx = 60215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652477264404297 × 217)
    floor (0.652477264404297 × 131072)
    floor (85521.5)     		ty = 85521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60215 / 85521 ti = "17/60215/85521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60215/85521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60215 ÷ 217
    60215 ÷ 131072     		x = 0.459403991699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85521 ÷ 217
    85521 ÷ 131072     		y = 0.652473449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459403991699219 × 2 - 1) × π
    -0.0811920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25507224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652473449707031 × 2 - 1) × π
    -0.304946899414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.958018938906822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25507224} λ = -0.25507224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958018938906822))-π/2
    2×atan(0.38365217202207)-π/2
    2×0.366334475873625-π/2
    0.732668951747249-1.57079632675     		φ = -0.83812738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25507224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.614563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83812738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.021162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60215 KachelY 85521 -0.25507224 -0.83812738 -14.614563 -48.021162
    Oben rechts KachelX + 1 60216 KachelY 85521 -0.25502431 -0.83812738 -14.611817 -48.021162
    Unten links KachelX 60215 KachelY + 1 85522 -0.25507224 -0.83815944 -14.614563 -48.022998
    Unten rechts KachelX + 1 60216 KachelY + 1 85522 -0.25502431 -0.83815944 -14.611817 -48.022998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83812738--0.83815944) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dl = 204.254260000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83812738--0.83815944) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dr = 204.254260000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25507224--0.25502431) × cos(-0.83812738) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.668856088328156 × 6371000     		do = 204.24325290987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25507224--0.25502431) × cos(-0.83815944) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.668832254839759 × 6371000     		du = 204.235975067471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83812738)-sin(-0.83815944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668856088328156-0.668832254839759)×R²
    abs(-0.25502431--0.25507224)×2.38334883972957e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38334883972957e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38334883972957e-05×40589641000000     		ar = 41716.8112216234m²