Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60214 / 30332
↖ ↑ ↗
← N 69.041072°
W 14.617310°		 ← 109.25 m → N 69.041072°
W 14.614563°		 →
↑
109.20 m
↓
↑
109.20 m
↓
N 69.040090°
W 14.617310°		 ← 109.26 m →
11 930 m²		 N 69.040090°
W 14.614563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459400177001953 y=0.231418609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459400177001953 × 217)
    floor (0.459400177001953 × 131072)
    floor (60214.5)     		tx = 60214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231418609619141 × 217)
    floor (0.231418609619141 × 131072)
    floor (30332.5)     		ty = 30332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60214 / 30332 ti = "17/60214/30332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60214/30332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60214 ÷ 217
    60214 ÷ 131072     		x = 0.459396362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30332 ÷ 217
    30332 ÷ 131072     		y = 0.231414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459396362304688 × 2 - 1) × π
    -0.081207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25512018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231414794921875 × 2 - 1) × π
    0.53717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68757061422446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25512018} λ = -0.25512018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68757061422446))-π/2
    2×atan(5.40633067551031)-π/2
    2×1.38789517491274-π/2
    2.77579034982548-1.57079632675     		φ = 1.20499402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25512018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.617310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20499402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.041072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60214 KachelY 30332 -0.25512018 1.20499402 -14.617310 69.041072
    Oben rechts KachelX + 1 60215 KachelY 30332 -0.25507224 1.20499402 -14.614563 69.041072
    Unten links KachelX 60214 KachelY + 1 30333 -0.25512018 1.20497688 -14.617310 69.040090
    Unten rechts KachelX + 1 60215 KachelY + 1 30333 -0.25507224 1.20497688 -14.614563 69.040090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20499402-1.20497688) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dl = 109.198939999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20499402-1.20497688) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dr = 109.198939999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25512018--0.25507224) × cos(1.20499402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35769863335392 × 6371000     		do = 109.250369789038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25512018--0.25507224) × cos(1.20497688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357714639268889 × 6371000     		du = 109.255258407462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20499402)-sin(1.20497688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35769863335392-0.357714639268889)×R²
    abs(-0.25507224--0.25512018)×1.6005914968753e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6005914968753e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6005914968753e-05×40589641000000     		ar = 11930.2914918225m²