Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60213 / 30385
↖ ↑ ↗
← N 68.988941°
W 14.620056°		 ← 109.51 m → N 68.988941°
W 14.617310°		 →
↑
109.52 m
↓
↑
109.52 m
↓
N 68.987956°
W 14.620056°		 ← 109.51 m →
11 994 m²		 N 68.987956°
W 14.617310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459392547607422 y=0.231822967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459392547607422 × 217)
    floor (0.459392547607422 × 131072)
    floor (60213.5)     		tx = 60213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231822967529297 × 217)
    floor (0.231822967529297 × 131072)
    floor (30385.5)     		ty = 30385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60213 / 30385 ti = "17/60213/30385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60213/30385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60213 ÷ 217
    60213 ÷ 131072     		x = 0.459388732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30385 ÷ 217
    30385 ÷ 131072     		y = 0.231819152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459388732910156 × 2 - 1) × π
    -0.0812225341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25516812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231819152832031 × 2 - 1) × π
    0.536361694335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.68502995854459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25516812} λ = -0.25516812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68502995854459))-π/2
    2×atan(5.39261248475116)-π/2
    2×1.38744024098147-π/2
    2.77488048196293-1.57079632675     		φ = 1.20408416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25516812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.620056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20408416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.988941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60213 KachelY 30385 -0.25516812 1.20408416 -14.620056 68.988941
    Oben rechts KachelX + 1 60214 KachelY 30385 -0.25512018 1.20408416 -14.617310 68.988941
    Unten links KachelX 60213 KachelY + 1 30386 -0.25516812 1.20406697 -14.620056 68.987956
    Unten rechts KachelX + 1 60214 KachelY + 1 30386 -0.25512018 1.20406697 -14.617310 68.987956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20408416-1.20406697) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dl = 109.517490000709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20408416-1.20406697) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dr = 109.517490000709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25516812--0.25512018) × cos(1.20408416) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.358548146180668 × 6371000     		do = 109.509832872914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25516812--0.25512018) × cos(1.20406697) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.358564193185831 × 6371000     		du = 109.51473404134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20408416)-sin(1.20406697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358548146180668-0.358564193185831)×R²
    abs(-0.25512018--0.25516812)×1.60470051633888e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60470051633888e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60470051633888e-05×40589641000000     		ar = 11993.5104087731m²