Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60212 / 40465
↖ ↑ ↗
← N 56.533743°
W 14.622803°		 ← 168.39 m → N 56.533743°
W 14.620056°		 →
↑
168.45 m
↓
↑
168.45 m
↓
N 56.532228°
W 14.622803°		 ← 168.40 m →
28 366 m²		 N 56.532228°
W 14.620056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459384918212891 y=0.308727264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459384918212891 × 217)
    floor (0.459384918212891 × 131072)
    floor (60212.5)     		tx = 60212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308727264404297 × 217)
    floor (0.308727264404297 × 131072)
    floor (40465.5)     		ty = 40465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60212 / 40465 ti = "17/60212/40465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60212/40465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60212 ÷ 217
    60212 ÷ 131072     		x = 0.459381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40465 ÷ 217
    40465 ÷ 131072     		y = 0.308723449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.08123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25521605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308723449707031 × 2 - 1) × π
    0.382553100585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.20182601037443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25521605} λ = -0.25521605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20182601037443))-π/2
    2×atan(3.32618502920838)-π/2
    2×1.27874814192459-π/2
    2.55749628384918-1.57079632675     		φ = 0.98669996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25521605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.622803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98669996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.533743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60212 KachelY 40465 -0.25521605 0.98669996 -14.622803 56.533743
    Oben rechts KachelX + 1 60213 KachelY 40465 -0.25516812 0.98669996 -14.620056 56.533743
    Unten links KachelX 60212 KachelY + 1 40466 -0.25521605 0.98667352 -14.622803 56.532228
    Unten rechts KachelX + 1 60213 KachelY + 1 40466 -0.25516812 0.98667352 -14.620056 56.532228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98669996-0.98667352) × R
    2.6440000000072e-05 × 6371000     		dl = 168.449240000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98669996-0.98667352) × R
    2.6440000000072e-05 × 6371000     		dr = 168.449240000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25521605--0.25516812) × cos(0.98669996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.551445787058444 × 6371000     		do = 168.390604971217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25521605--0.25516812) × cos(0.98667352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.551467843397422 × 6371000     		du = 168.397340139662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98669996)-sin(0.98667352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551445787058444-0.551467843397422)×R²
    abs(-0.25516812--0.25521605)×2.20563389780049e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20563389780049e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20563389780049e-05×40589641000000     		ar = 28365.836699191m²