Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60212 / 39724
↖ ↑ ↗
← N 57.639521°
W 14.622803°		 ← 163.44 m → N 57.639521°
W 14.620056°		 →
↑
163.48 m
↓
↑
163.48 m
↓
N 57.638051°
W 14.622803°		 ← 163.45 m →
26 720 m²		 N 57.638051°
W 14.620056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459384918212891 y=0.303073883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459384918212891 × 217)
    floor (0.459384918212891 × 131072)
    floor (60212.5)     		tx = 60212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303073883056641 × 217)
    floor (0.303073883056641 × 131072)
    floor (39724.5)     		ty = 39724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60212 / 39724 ti = "17/60212/39724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60212/39724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60212 ÷ 217
    60212 ÷ 131072     		x = 0.459381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39724 ÷ 217
    39724 ÷ 131072     		y = 0.303070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.08123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25521605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303070068359375 × 2 - 1) × π
    0.39385986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23734725299289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25521605} λ = -0.25521605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23734725299289))-π/2
    2×atan(3.4464587444333)-π/2
    2×1.28839787178002-π/2
    2.57679574356004-1.57079632675     		φ = 1.00599942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25521605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.622803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00599942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.639521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60212 KachelY 39724 -0.25521605 1.00599942 -14.622803 57.639521
    Oben rechts KachelX + 1 60213 KachelY 39724 -0.25516812 1.00599942 -14.620056 57.639521
    Unten links KachelX 60212 KachelY + 1 39725 -0.25521605 1.00597376 -14.622803 57.638051
    Unten rechts KachelX + 1 60213 KachelY + 1 39725 -0.25516812 1.00597376 -14.620056 57.638051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00599942-1.00597376) × R
    2.56599999999274e-05 × 6371000     		dl = 163.479859999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00599942-1.00597376) × R
    2.56599999999274e-05 × 6371000     		dr = 163.479859999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25521605--0.25516812) × cos(1.00599942) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.535244274764401 × 6371000     		do = 163.443278288035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25521605--0.25516812) × cos(1.00597376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.535265949521477 × 6371000     		du = 163.449896935856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00599942)-sin(1.00597376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535244274764401-0.535265949521477)×R²
    abs(-0.25516812--0.25521605)×2.16747570762621e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.16747570762621e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.16747570762621e-05×40589641000000     		ar = 26720.2252615961m²