Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60211 / 85511
↖ ↑ ↗
← S 48.002787°
W 14.625549°		 ← 204.36 m → S 48.002787°
W 14.622803°		 →
↑
204.32 m
↓
↑
204.32 m
↓
S 48.004625°
W 14.625549°		 ← 204.35 m →
41 753 m²		 S 48.004625°
W 14.622803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459377288818359 y=0.652400970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459377288818359 × 217)
    floor (0.459377288818359 × 131072)
    floor (60211.5)     		tx = 60211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652400970458984 × 217)
    floor (0.652400970458984 × 131072)
    floor (85511.5)     		ty = 85511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60211 / 85511 ti = "17/60211/85511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60211/85511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60211 ÷ 217
    60211 ÷ 131072     		x = 0.459373474121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85511 ÷ 217
    85511 ÷ 131072     		y = 0.652397155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459373474121094 × 2 - 1) × π
    -0.0812530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25526399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652397155761719 × 2 - 1) × π
    -0.304794311523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.957539569910622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25526399} λ = -0.25526399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957539569910622))-π/2
    2×atan(0.383836127066312)-π/2
    2×0.366494818875733-π/2
    0.732989637751467-1.57079632675     		φ = -0.83780669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25526399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.625549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83780669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.002787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60211 KachelY 85511 -0.25526399 -0.83780669 -14.625549 -48.002787
    Oben rechts KachelX + 1 60212 KachelY 85511 -0.25521605 -0.83780669 -14.622803 -48.002787
    Unten links KachelX 60211 KachelY + 1 85512 -0.25526399 -0.83783876 -14.625549 -48.004625
    Unten rechts KachelX + 1 60212 KachelY + 1 85512 -0.25521605 -0.83783876 -14.622803 -48.004625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83780669--0.83783876) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dl = 204.317970000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83780669--0.83783876) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dr = 204.317970000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25526399--0.25521605) × cos(-0.83780669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669094452282684 × 6371000     		do = 204.358668218199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25526399--0.25521605) × cos(-0.83783876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669070618240126 × 6371000     		du = 204.351388688114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83780669)-sin(-0.83783876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669094452282684-0.669070618240126)×R²
    abs(-0.25521605--0.25526399)×2.38340425582351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38340425582351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38340425582351e-05×40589641000000     		ar = 41753.4045763316m²