Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60210 / 39726
↖ ↑ ↗
← N 57.636581°
W 14.628296°		 ← 163.49 m → N 57.636581°
W 14.625549°		 →
↑
163.48 m
↓
↑
163.48 m
↓
N 57.635110°
W 14.628296°		 ← 163.50 m →
26 728 m²		 N 57.635110°
W 14.625549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459369659423828 y=0.303089141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459369659423828 × 217)
    floor (0.459369659423828 × 131072)
    floor (60210.5)     		tx = 60210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303089141845703 × 217)
    floor (0.303089141845703 × 131072)
    floor (39726.5)     		ty = 39726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60210 / 39726 ti = "17/60210/39726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60210/39726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60210 ÷ 217
    60210 ÷ 131072     		x = 0.459365844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39726 ÷ 217
    39726 ÷ 131072     		y = 0.303085327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459365844726562 × 2 - 1) × π
    -0.081268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25531193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303085327148438 × 2 - 1) × π
    0.393829345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23725137919365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25531193} λ = -0.25531193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23725137919365))-π/2
    2×atan(3.4461283351786)-π/2
    2×1.28837221278985-π/2
    2.57674442557971-1.57079632675     		φ = 1.00594810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25531193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.628296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00594810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.636581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60210 KachelY 39726 -0.25531193 1.00594810 -14.628296 57.636581
    Oben rechts KachelX + 1 60211 KachelY 39726 -0.25526399 1.00594810 -14.625549 57.636581
    Unten links KachelX 60210 KachelY + 1 39727 -0.25531193 1.00592244 -14.628296 57.635110
    Unten rechts KachelX + 1 60211 KachelY + 1 39727 -0.25526399 1.00592244 -14.625549 57.635110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00594810-1.00592244) × R
    2.56599999999274e-05 × 6371000     		dl = 163.479859999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00594810-1.00592244) × R
    2.56599999999274e-05 × 6371000     		dr = 163.479859999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25531193--0.25526399) × cos(1.00594810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.535287623926116 × 6371000     		do = 163.490618650558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25531193--0.25526399) × cos(1.00592244) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.535309297978301 × 6371000     		du = 163.497238463985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00594810)-sin(1.00592244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535287623926116-0.535309297978301)×R²
    abs(-0.25526399--0.25531193)×2.16740521856718e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16740521856718e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16740521856718e-05×40589641000000     		ar = 26727.9645529346m²