Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6021 / 7548
↖ ↑ ↗
← N 14.008697°
W 47.702637°		 ← 2 370.55 m → N 14.008697°
W 47.680664°		 →
↑
2 370.71 m
↓
↑
2 370.71 m
↓
N 13.987376°
W 47.702637°		 ← 2 370.77 m →
5 620 157 m²		 N 13.987376°
W 47.680664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367523193359375 y=0.460723876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367523193359375 × 214)
    floor (0.367523193359375 × 16384)
    floor (6021.5)     		tx = 6021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460723876953125 × 214)
    floor (0.460723876953125 × 16384)
    floor (7548.5)     		ty = 7548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6021 / 7548 ti = "14/6021/7548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6021/7548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6021 ÷ 214
    6021 ÷ 16384     		x = 0.36749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7548 ÷ 214
    7548 ÷ 16384     		y = 0.460693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.2650146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83256807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460693359375 × 2 - 1) × π
    0.07861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.246970906842529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83256807} λ = -0.83256807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.246970906842529))-π/2
    2×atan(1.28014186886753)-π/2
    2×0.907647101183901-π/2
    1.8152942023678-1.57079632675     		φ = 0.24449788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83256807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.702637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24449788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.008697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6021 KachelY 7548 -0.83256807 0.24449788 -47.702637 14.008697
    Oben rechts KachelX + 1 6022 KachelY 7548 -0.83218458 0.24449788 -47.680664 14.008697
    Unten links KachelX 6021 KachelY + 1 7549 -0.83256807 0.24412577 -47.702637 13.987376
    Unten rechts KachelX + 1 6022 KachelY + 1 7549 -0.83218458 0.24412577 -47.680664 13.987376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24449788-0.24412577) × R
    0.000372110000000009 × 6371000     		dl = 2370.71281000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24449788-0.24412577) × R
    0.000372110000000009 × 6371000     		dr = 2370.71281000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83256807--0.83218458) × cos(0.24449788) × R
    0.000383490000000042 × 0.970258995051632 × 6371000     		do = 2370.55112684094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83256807--0.83218458) × cos(0.24412577) × R
    0.000383490000000042 × 0.970349004234116 × 6371000     		du = 2370.77103860682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24449788)-sin(0.24412577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970258995051632-0.970349004234116)×R²
    abs(-0.83218458--0.83256807)×9.00091824840299e-05×R²
    0.000383490000000042×9.00091824840299e-05×6371000²
    0.000383490000000042×9.00091824840299e-05×40589641000000     		ar = 5620156.66183213m²