Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6021 / 6417
↖ ↑ ↗
← S 70.859087°
E 84.594727°		 ← 1 602.24 m → S 70.859087°
E 84.638672°		 →
↑
1 601.67 m
↓
↑
1 601.67 m
↓
S 70.873492°
E 84.594727°		 ← 1 601.08 m →
2 565 337 m²		 S 70.873492°
E 84.638672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.73504638671875 y=0.78338623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.73504638671875 × 213)
    floor (0.73504638671875 × 8192)
    floor (6021.5)     		tx = 6021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78338623046875 × 213)
    floor (0.78338623046875 × 8192)
    floor (6417.5)     		ty = 6417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6021 / 6417 ti = "13/6021/6417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6021/6417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6021 ÷ 213
    6021 ÷ 8192     		x = 0.7349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6417 ÷ 213
    6417 ÷ 8192     		y = 0.7833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7349853515625 × 2 - 1) × π
    0.469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.47645651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.566650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78018470429041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47645651} λ = 1.47645651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78018470429041))-π/2
    2×atan(0.168607001955694)-π/2
    2×0.167035975131589-π/2
    0.334071950263178-1.57079632675     		φ = -1.23672438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47645651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.594727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23672438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.859087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6021 KachelY 6417 1.47645651 -1.23672438 84.594727 -70.859087
    Oben rechts KachelX + 1 6022 KachelY 6417 1.47722350 -1.23672438 84.638672 -70.859087
    Unten links KachelX 6021 KachelY + 1 6418 1.47645651 -1.23697578 84.594727 -70.873492
    Unten rechts KachelX + 1 6022 KachelY + 1 6418 1.47722350 -1.23697578 84.638672 -70.873492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23672438--1.23697578) × R
    0.000251400000000013 × 6371000     		dl = 1601.66940000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23672438--1.23697578) × R
    0.000251400000000013 × 6371000     		dr = 1601.66940000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47645651-1.47722350) × cos(-1.23672438) × R
    0.000766990000000023 × 0.327892565403332 × 6371000     		do = 1602.24482068432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47645651-1.47722350) × cos(-1.23697578) × R
    0.000766990000000023 × 0.32765505368854 × 6371000     		du = 1601.08422128369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23672438)-sin(-1.23697578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327892565403332-0.32765505368854)×R²
    abs(1.47722350-1.47645651)×0.000237511714792138×R²
    0.000766990000000023×0.000237511714792138×6371000²
    0.000766990000000023×0.000237511714792138×40589641000000     		ar = 2565337.06583744m²