Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6021 / 6385
↖ ↑ ↗
← S 70.392606°
E 84.594727°		 ← 1 639.78 m → S 70.392606°
E 84.638672°		 →
↑
1 639.13 m
↓
↑
1 639.13 m
↓
S 70.407347°
E 84.594727°		 ← 1 638.59 m →
2 686 837 m²		 S 70.407347°
E 84.638672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.73504638671875 y=0.77947998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.73504638671875 × 213)
    floor (0.73504638671875 × 8192)
    floor (6021.5)     		tx = 6021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77947998046875 × 213)
    floor (0.77947998046875 × 8192)
    floor (6385.5)     		ty = 6385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6021 / 6385 ti = "13/6021/6385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6021/6385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6021 ÷ 213
    6021 ÷ 8192     		x = 0.7349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6385 ÷ 213
    6385 ÷ 8192     		y = 0.7794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7349853515625 × 2 - 1) × π
    0.469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.47645651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.558837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75564101168494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47645651} λ = 1.47645651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75564101168494))-π/2
    2×atan(0.172796442244854)-π/2
    2×0.171106790339466-π/2
    0.342213580678932-1.57079632675     		φ = -1.22858275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47645651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.594727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22858275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.392606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6021 KachelY 6385 1.47645651 -1.22858275 84.594727 -70.392606
    Oben rechts KachelX + 1 6022 KachelY 6385 1.47722350 -1.22858275 84.638672 -70.392606
    Unten links KachelX 6021 KachelY + 1 6386 1.47645651 -1.22884003 84.594727 -70.407347
    Unten rechts KachelX + 1 6022 KachelY + 1 6386 1.47722350 -1.22884003 84.638672 -70.407347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22858275--1.22884003) × R
    0.000257280000000026 × 6371000     		dl = 1639.13088000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22858275--1.22884003) × R
    0.000257280000000026 × 6371000     		dr = 1639.13088000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47645651-1.47722350) × cos(-1.22858275) × R
    0.000766990000000023 × 0.335573133257393 × 6371000     		do = 1639.77586396658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47645651-1.47722350) × cos(-1.22884003) × R
    0.000766990000000023 × 0.335330760751424 × 6371000     		du = 1638.59151234248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22858275)-sin(-1.22884003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335573133257393-0.335330760751424)×R²
    abs(1.47722350-1.47645651)×0.000242372505968869×R²
    0.000766990000000023×0.000242372505968869×6371000²
    0.000766990000000023×0.000242372505968869×40589641000000     		ar = 2686836.61606755m²