Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60209 / 81867
↖ ↑ ↗
← S 40.869911°
W 14.631042°		 ← 230.91 m → S 40.869911°
W 14.628296°		 →
↑
230.95 m
↓
↑
230.95 m
↓
S 40.871988°
W 14.631042°		 ← 230.91 m →
53 328 m²		 S 40.871988°
W 14.628296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459362030029297 y=0.624599456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459362030029297 × 217)
    floor (0.459362030029297 × 131072)
    floor (60209.5)     		tx = 60209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624599456787109 × 217)
    floor (0.624599456787109 × 131072)
    floor (81867.5)     		ty = 81867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60209 / 81867 ti = "17/60209/81867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60209/81867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60209 ÷ 217
    60209 ÷ 131072     		x = 0.459358215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81867 ÷ 217
    81867 ÷ 131072     		y = 0.624595642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459358215332031 × 2 - 1) × π
    -0.0812835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25535986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624595642089844 × 2 - 1) × π
    -0.249191284179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.782857507695137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25535986} λ = -0.25535986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782857507695137))-π/2
    2×atan(0.457097982341879)-π/2
    2×0.428740908901818-π/2
    0.857481817803635-1.57079632675     		φ = -0.71331451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25535986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.631042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71331451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.869911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60209 KachelY 81867 -0.25535986 -0.71331451 -14.631042 -40.869911
    Oben rechts KachelX + 1 60210 KachelY 81867 -0.25531193 -0.71331451 -14.628296 -40.869911
    Unten links KachelX 60209 KachelY + 1 81868 -0.25535986 -0.71335076 -14.631042 -40.871988
    Unten rechts KachelX + 1 60210 KachelY + 1 81868 -0.25531193 -0.71335076 -14.628296 -40.871988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71331451--0.71335076) × R
    3.62499999999599e-05 × 6371000     		dl = 230.948749999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71331451--0.71335076) × R
    3.62499999999599e-05 × 6371000     		dr = 230.948749999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25535986--0.25531193) × cos(-0.71331451) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.756197204724926 × 6371000     		do = 230.913913515003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25535986--0.25531193) × cos(-0.71335076) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.756173484265919 × 6371000     		du = 230.906670187488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71331451)-sin(-0.71335076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756197204724926-0.756173484265919)×R²
    abs(-0.25531193--0.25535986)×2.3720459007448e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3720459007448e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3720459007448e-05×40589641000000     		ar = 53328.4432710737m²