Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60209 / 78530
↖ ↑ ↗
← S 33.582591°
W 14.631042°		 ← 254.39 m → S 33.582591°
W 14.628296°		 →
↑
254.39 m
↓
↑
254.39 m
↓
S 33.584879°
W 14.631042°		 ← 254.39 m →
64 715 m²		 S 33.584879°
W 14.628296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459362030029297 y=0.599140167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459362030029297 × 217)
    floor (0.459362030029297 × 131072)
    floor (60209.5)     		tx = 60209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599140167236328 × 217)
    floor (0.599140167236328 × 131072)
    floor (78530.5)     		ty = 78530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60209 / 78530 ti = "17/60209/78530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60209/78530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60209 ÷ 217
    60209 ÷ 131072     		x = 0.459358215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78530 ÷ 217
    78530 ÷ 131072     		y = 0.599136352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459358215332031 × 2 - 1) × π
    -0.0812835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25535986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599136352539062 × 2 - 1) × π
    -0.198272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.62289207366301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25535986} λ = -0.25535986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62289207366301))-π/2
    2×atan(0.536390910195203)-π/2
    2×0.492334769823918-π/2
    0.984669539647835-1.57079632675     		φ = -0.58612679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25535986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.631042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58612679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.582591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60209 KachelY 78530 -0.25535986 -0.58612679 -14.631042 -33.582591
    Oben rechts KachelX + 1 60210 KachelY 78530 -0.25531193 -0.58612679 -14.628296 -33.582591
    Unten links KachelX 60209 KachelY + 1 78531 -0.25535986 -0.58616672 -14.631042 -33.584879
    Unten rechts KachelX + 1 60210 KachelY + 1 78531 -0.25531193 -0.58616672 -14.628296 -33.584879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58612679--0.58616672) × R
    3.99300000000213e-05 × 6371000     		dl = 254.394030000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58612679--0.58616672) × R
    3.99300000000213e-05 × 6371000     		dr = 254.394030000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25535986--0.25531193) × cos(-0.58612679) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.833089344013091 × 6371000     		do = 254.393853259067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25535986--0.25531193) × cos(-0.58616672) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.833067256530647 × 6371000     		du = 254.38710858059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58612679)-sin(-0.58616672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833089344013091-0.833067256530647)×R²
    abs(-0.25531193--0.25535986)×2.20874824443662e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20874824443662e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20874824443662e-05×40589641000000     		ar = 64715.4196435134m²