Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60209 / 39731
↖ ↑ ↗
← N 57.629229°
W 14.631042°		 ← 163.49 m → N 57.629229°
W 14.628296°		 →
↑
163.54 m
↓
↑
163.54 m
↓
N 57.627758°
W 14.631042°		 ← 163.50 m →
26 738 m²		 N 57.627758°
W 14.628296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459362030029297 y=0.303127288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459362030029297 × 217)
    floor (0.459362030029297 × 131072)
    floor (60209.5)     		tx = 60209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303127288818359 × 217)
    floor (0.303127288818359 × 131072)
    floor (39731.5)     		ty = 39731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60209 / 39731 ti = "17/60209/39731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60209/39731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60209 ÷ 217
    60209 ÷ 131072     		x = 0.459358215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39731 ÷ 217
    39731 ÷ 131072     		y = 0.303123474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459358215332031 × 2 - 1) × π
    -0.0812835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25535986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303123474121094 × 2 - 1) × π
    0.393753051757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.23701169469555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25535986} λ = -0.25535986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23701169469555))-π/2
    2×atan(3.44530245061801)-π/2
    2×1.288308056223-π/2
    2.576616112446-1.57079632675     		φ = 1.00581979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25535986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.631042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00581979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.629229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60209 KachelY 39731 -0.25535986 1.00581979 -14.631042 57.629229
    Oben rechts KachelX + 1 60210 KachelY 39731 -0.25531193 1.00581979 -14.628296 57.629229
    Unten links KachelX 60209 KachelY + 1 39732 -0.25535986 1.00579412 -14.631042 57.627758
    Unten rechts KachelX + 1 60210 KachelY + 1 39732 -0.25531193 1.00579412 -14.628296 57.627758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00581979-1.00579412) × R
    2.56700000000887e-05 × 6371000     		dl = 163.543570000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00581979-1.00579412) × R
    2.56700000000887e-05 × 6371000     		dr = 163.543570000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25535986--0.25531193) × cos(1.00581979) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.535395999108246 × 6371000     		do = 163.489609141483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25535986--0.25531193) × cos(1.00579412) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.535417679843693 × 6371000     		du = 163.496229614871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00581979)-sin(1.00579412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535395999108246-0.535417679843693)×R²
    abs(-0.25531193--0.25535986)×2.16807354465054e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.16807354465054e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.16807354465054e-05×40589641000000     		ar = 26738.2157063256m²