Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60209 / 39729
↖ ↑ ↗
← N 57.632169°
W 14.631042°		 ← 163.48 m → N 57.632169°
W 14.628296°		 →
↑
163.48 m
↓
↑
163.48 m
↓
N 57.630699°
W 14.631042°		 ← 163.48 m →
26 726 m²		 N 57.630699°
W 14.628296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459362030029297 y=0.303112030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459362030029297 × 217)
    floor (0.459362030029297 × 131072)
    floor (60209.5)     		tx = 60209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303112030029297 × 217)
    floor (0.303112030029297 × 131072)
    floor (39729.5)     		ty = 39729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60209 / 39729 ti = "17/60209/39729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60209/39729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60209 ÷ 217
    60209 ÷ 131072     		x = 0.459358215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39729 ÷ 217
    39729 ÷ 131072     		y = 0.303108215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459358215332031 × 2 - 1) × π
    -0.0812835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25535986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303108215332031 × 2 - 1) × π
    0.393783569335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.23710756849479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25535986} λ = -0.25535986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23710756849479))-π/2
    2×atan(3.44563278068823)-π/2
    2×1.28833372040834-π/2
    2.57666744081668-1.57079632675     		φ = 1.00587111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25535986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.631042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00587111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.632169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60209 KachelY 39729 -0.25535986 1.00587111 -14.631042 57.632169
    Oben rechts KachelX + 1 60210 KachelY 39729 -0.25531193 1.00587111 -14.628296 57.632169
    Unten links KachelX 60209 KachelY + 1 39730 -0.25535986 1.00584545 -14.631042 57.630699
    Unten rechts KachelX + 1 60210 KachelY + 1 39730 -0.25531193 1.00584545 -14.628296 57.630699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00587111-1.00584545) × R
    2.56599999999274e-05 × 6371000     		dl = 163.479859999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00587111-1.00584545) × R
    2.56599999999274e-05 × 6371000     		dr = 163.479859999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25535986--0.25531193) × cos(1.00587111) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.535352653471545 × 6371000     		do = 163.476373029868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25535986--0.25531193) × cos(1.00584545) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.53537432646615 × 6371000     		du = 163.482991139497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00587111)-sin(1.00584545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535352653471545-0.53537432646615)×R²
    abs(-0.25531193--0.25535986)×2.16729946054262e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.16729946054262e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.16729946054262e-05×40589641000000     		ar = 26725.6355413523m²