Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60208 / 78525
↖ ↑ ↗
← S 33.571150°
W 14.633789°		 ← 254.48 m → S 33.571150°
W 14.631042°		 →
↑
254.46 m
↓
↑
254.46 m
↓
S 33.573438°
W 14.633789°		 ← 254.47 m →
64 754 m²		 S 33.573438°
W 14.631042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459354400634766 y=0.599102020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459354400634766 × 217)
    floor (0.459354400634766 × 131072)
    floor (60208.5)     		tx = 60208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599102020263672 × 217)
    floor (0.599102020263672 × 131072)
    floor (78525.5)     		ty = 78525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60208 / 78525 ti = "17/60208/78525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60208/78525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60208 ÷ 217
    60208 ÷ 131072     		x = 0.4593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78525 ÷ 217
    78525 ÷ 131072     		y = 0.599098205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25540780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599098205566406 × 2 - 1) × π
    -0.198196411132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.622652389164909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25540780} λ = -0.25540780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622652389164909))-π/2
    2×atan(0.536519490189999)-π/2
    2×0.492434615742665-π/2
    0.98486923148533-1.57079632675     		φ = -0.58592710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25540780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58592710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.571150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60208 KachelY 78525 -0.25540780 -0.58592710 -14.633789 -33.571150
    Oben rechts KachelX + 1 60209 KachelY 78525 -0.25535986 -0.58592710 -14.631042 -33.571150
    Unten links KachelX 60208 KachelY + 1 78526 -0.25540780 -0.58596704 -14.633789 -33.573438
    Unten rechts KachelX + 1 60209 KachelY + 1 78526 -0.25535986 -0.58596704 -14.631042 -33.573438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58592710--0.58596704) × R
    3.99399999999606e-05 × 6371000     		dl = 254.457739999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58592710--0.58596704) × R
    3.99399999999606e-05 × 6371000     		dr = 254.457739999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25540780--0.25535986) × cos(-0.58592710) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833199783619266 × 6371000     		do = 254.480660479882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25540780--0.25535986) × cos(-0.58596704) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.83317769724986 × 6371000     		du = 254.473914734162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58592710)-sin(-0.58596704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833199783619266-0.83317769724986)×R²
    abs(-0.25535986--0.25540780)×2.20863694062601e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20863694062601e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20863694062601e-05×40589641000000     		ar = 64753.7154942561m²