Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60208 / 40462
↖ ↑ ↗
← N 56.538287°
W 14.633789°		 ← 168.41 m → N 56.538287°
W 14.631042°		 →
↑
168.45 m
↓
↑
168.45 m
↓
N 56.536772°
W 14.633789°		 ← 168.41 m →
28 368 m²		 N 56.536772°
W 14.631042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459354400634766 y=0.308704376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459354400634766 × 217)
    floor (0.459354400634766 × 131072)
    floor (60208.5)     		tx = 60208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308704376220703 × 217)
    floor (0.308704376220703 × 131072)
    floor (40462.5)     		ty = 40462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60208 / 40462 ti = "17/60208/40462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60208/40462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60208 ÷ 217
    60208 ÷ 131072     		x = 0.4593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40462 ÷ 217
    40462 ÷ 131072     		y = 0.308700561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25540780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308700561523438 × 2 - 1) × π
    0.382598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20196982107329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25540780} λ = -0.25540780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20196982107329))-π/2
    2×atan(3.3266634045989)-π/2
    2×1.27878779144834-π/2
    2.55757558289669-1.57079632675     		φ = 0.98677926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25540780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98677926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.538287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60208 KachelY 40462 -0.25540780 0.98677926 -14.633789 56.538287
    Oben rechts KachelX + 1 60209 KachelY 40462 -0.25535986 0.98677926 -14.631042 56.538287
    Unten links KachelX 60208 KachelY + 1 40463 -0.25540780 0.98675282 -14.633789 56.536772
    Unten rechts KachelX + 1 60209 KachelY + 1 40463 -0.25535986 0.98675282 -14.631042 56.536772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98677926-0.98675282) × R
    2.6440000000072e-05 × 6371000     		dl = 168.449240000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98677926-0.98675282) × R
    2.6440000000072e-05 × 6371000     		dr = 168.449240000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25540780--0.25535986) × cos(0.98677926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551379632413654 × 6371000     		do = 168.405532250953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25540780--0.25535986) × cos(0.98675282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551401689908798 × 6371000     		du = 168.41226917773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98677926)-sin(0.98675282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551379632413654-0.551401689908798)×R²
    abs(-0.25535986--0.25540780)×2.20574951437236e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20574951437236e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20574951437236e-05×40589641000000     		ar = 28368.3513362188m²