Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60207 / 83433
↖ ↑ ↗
← S 44.042193°
W 14.636536°		 ← 219.55 m → S 44.042193°
W 14.633789°		 →
↑
219.54 m
↓
↑
219.54 m
↓
S 44.044168°
W 14.636536°		 ← 219.54 m →
48 200 m²		 S 44.044168°
W 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459346771240234 y=0.636547088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459346771240234 × 217)
    floor (0.459346771240234 × 131072)
    floor (60207.5)     		tx = 60207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636547088623047 × 217)
    floor (0.636547088623047 × 131072)
    floor (83433.5)     		ty = 83433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60207 / 83433 ti = "17/60207/83433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60207/83433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60207 ÷ 217
    60207 ÷ 131072     		x = 0.459342956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83433 ÷ 217
    83433 ÷ 131072     		y = 0.636543273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459342956542969 × 2 - 1) × π
    -0.0813140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25545574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636543273925781 × 2 - 1) × π
    -0.273086547851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.857926692500145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25545574} λ = -0.25545574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857926692500145))-π/2
    2×atan(0.424040337568666)-π/2
    2×0.401057524003683-π/2
    0.802115048007367-1.57079632675     		φ = -0.76868128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25545574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.636536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76868128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.042193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60207 KachelY 83433 -0.25545574 -0.76868128 -14.636536 -44.042193
    Oben rechts KachelX + 1 60208 KachelY 83433 -0.25540780 -0.76868128 -14.633789 -44.042193
    Unten links KachelX 60207 KachelY + 1 83434 -0.25545574 -0.76871574 -14.636536 -44.044168
    Unten rechts KachelX + 1 60208 KachelY + 1 83434 -0.25540780 -0.76871574 -14.633789 -44.044168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76868128--0.76871574) × R
    3.44599999999584e-05 × 6371000     		dl = 219.544659999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76868128--0.76871574) × R
    3.44599999999584e-05 × 6371000     		dr = 219.544659999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25545574--0.25540780) × cos(-0.76868128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718828052575462 × 6371000     		do = 219.548589890476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25545574--0.25540780) × cos(-0.76871574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718804095973272 × 6371000     		du = 219.541272927524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76868128)-sin(-0.76871574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718828052575462-0.718804095973272)×R²
    abs(-0.25540780--0.25545574)×2.39566021903448e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39566021903448e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39566021903448e-05×40589641000000     		ar = 48199.9173256849m²