Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60207 / 40464
↖ ↑ ↗
← N 56.535258°
W 14.636536°		 ← 168.42 m → N 56.535258°
W 14.633789°		 →
↑
168.39 m
↓
↑
168.39 m
↓
N 56.533743°
W 14.636536°		 ← 168.43 m →
28 360 m²		 N 56.533743°
W 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459346771240234 y=0.308719635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459346771240234 × 217)
    floor (0.459346771240234 × 131072)
    floor (60207.5)     		tx = 60207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308719635009766 × 217)
    floor (0.308719635009766 × 131072)
    floor (40464.5)     		ty = 40464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60207 / 40464 ti = "17/60207/40464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60207/40464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60207 ÷ 217
    60207 ÷ 131072     		x = 0.459342956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40464 ÷ 217
    40464 ÷ 131072     		y = 0.3087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459342956542969 × 2 - 1) × π
    -0.0813140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25545574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3087158203125 × 2 - 1) × π
    0.382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20187394727405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25545574} λ = -0.25545574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20187394727405))-π/2
    2×atan(3.326344480028)-π/2
    2×1.27876135896105-π/2
    2.55752271792209-1.57079632675     		φ = 0.98672639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25545574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.636536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98672639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.535258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60207 KachelY 40464 -0.25545574 0.98672639 -14.636536 56.535258
    Oben rechts KachelX + 1 60208 KachelY 40464 -0.25540780 0.98672639 -14.633789 56.535258
    Unten links KachelX 60207 KachelY + 1 40465 -0.25545574 0.98669996 -14.636536 56.533743
    Unten rechts KachelX + 1 60208 KachelY + 1 40465 -0.25540780 0.98669996 -14.633789 56.533743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98672639-0.98669996) × R
    2.64299999999107e-05 × 6371000     		dl = 168.385529999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98672639-0.98669996) × R
    2.64299999999107e-05 × 6371000     		dr = 168.385529999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25545574--0.25540780) × cos(0.98672639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.551423738676219 × 6371000     		do = 168.41900343864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25545574--0.25540780) × cos(0.98669996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.551445787058444 × 6371000     		du = 168.425737582097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98672639)-sin(0.98669996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551423738676219-0.551445787058444)×R²
    abs(-0.25540780--0.25545574)×2.20483822259698e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20483822259698e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20483822259698e-05×40589641000000     		ar = 28359.8901239367m²