Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60206 / 83435
↖ ↑ ↗
← S 44.046141°
W 14.639282°		 ← 219.49 m → S 44.046141°
W 14.636536°		 →
↑
219.54 m
↓
↑
219.54 m
↓
S 44.048116°
W 14.639282°		 ← 219.48 m →
48 187 m²		 S 44.048116°
W 14.636536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459339141845703 y=0.636562347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459339141845703 × 217)
    floor (0.459339141845703 × 131072)
    floor (60206.5)     		tx = 60206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636562347412109 × 217)
    floor (0.636562347412109 × 131072)
    floor (83435.5)     		ty = 83435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60206 / 83435 ti = "17/60206/83435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60206/83435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60206 ÷ 217
    60206 ÷ 131072     		x = 0.459335327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83435 ÷ 217
    83435 ÷ 131072     		y = 0.636558532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459335327148438 × 2 - 1) × π
    -0.081329345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25550367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636558532714844 × 2 - 1) × π
    -0.273117065429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.858022566299385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25550367} λ = -0.25550367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858022566299385))-π/2
    2×atan(0.423999685159254)-π/2
    2×0.401023066763775-π/2
    0.802046133527551-1.57079632675     		φ = -0.76875019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25550367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.639282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76875019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.046141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60206 KachelY 83435 -0.25550367 -0.76875019 -14.639282 -44.046141
    Oben rechts KachelX + 1 60207 KachelY 83435 -0.25545574 -0.76875019 -14.636536 -44.046141
    Unten links KachelX 60206 KachelY + 1 83436 -0.25550367 -0.76878465 -14.639282 -44.048116
    Unten rechts KachelX + 1 60207 KachelY + 1 83436 -0.25545574 -0.76878465 -14.636536 -44.048116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76875019--0.76878465) × R
    3.44599999999584e-05 × 6371000     		dl = 219.544659999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76875019--0.76878465) × R
    3.44599999999584e-05 × 6371000     		dr = 219.544659999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25550367--0.25545574) × cos(-0.76875019) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.718780145469882 × 6371000     		do = 219.488164344513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25550367--0.25545574) × cos(-0.76878465) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.71875618716082 × 6371000     		du = 219.480848386622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76875019)-sin(-0.76878465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718780145469882-0.71875618716082)×R²
    abs(-0.25545574--0.25550367)×2.39583090618778e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39583090618778e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39583090618778e-05×40589641000000     		ar = 48186.6513300073m²