Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60204 / 78524
↖ ↑ ↗
← S 33.568861°
W 14.644775°		 ← 254.49 m → S 33.568861°
W 14.642029°		 →
↑
254.52 m
↓
↑
254.52 m
↓
S 33.571150°
W 14.644775°		 ← 254.48 m →
64 772 m²		 S 33.571150°
W 14.642029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459323883056641 y=0.599094390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459323883056641 × 217)
    floor (0.459323883056641 × 131072)
    floor (60204.5)     		tx = 60204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599094390869141 × 217)
    floor (0.599094390869141 × 131072)
    floor (78524.5)     		ty = 78524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60204 / 78524 ti = "17/60204/78524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60204/78524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60204 ÷ 217
    60204 ÷ 131072     		x = 0.459320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78524 ÷ 217
    78524 ÷ 131072     		y = 0.599090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459320068359375 × 2 - 1) × π
    -0.08135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25559955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.19818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.622604452265289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25559955} λ = -0.25559955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622604452265289))-π/2
    2×atan(0.536545209887401)-π/2
    2×0.492454586514606-π/2
    0.984909173029212-1.57079632675     		φ = -0.58588715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25559955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.644775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58588715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.568861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60204 KachelY 78524 -0.25559955 -0.58588715 -14.644775 -33.568861
    Oben rechts KachelX + 1 60205 KachelY 78524 -0.25555161 -0.58588715 -14.642029 -33.568861
    Unten links KachelX 60204 KachelY + 1 78525 -0.25559955 -0.58592710 -14.644775 -33.571150
    Unten rechts KachelX + 1 60205 KachelY + 1 78525 -0.25555161 -0.58592710 -14.642029 -33.571150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58588715--0.58592710) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dl = 254.521450000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58588715--0.58592710) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dr = 254.521450000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25559955--0.25555161) × cos(-0.58588715) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833221874188937 × 6371000     		do = 254.487407508471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25559955--0.25555161) × cos(-0.58592710) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833199783619266 × 6371000     		du = 254.480660479882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58588715)-sin(-0.58592710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833221874188937-0.833199783619266)×R²
    abs(-0.25555161--0.25559955)×2.20905696709517e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20905696709517e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20905696709517e-05×40589641000000     		ar = 64771.6453426823m²