Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60201 / 81910
↖ ↑ ↗
← S 40.959160°
W 14.653015°		 ← 230.65 m → S 40.959160°
W 14.650268°		 →
↑
230.63 m
↓
↑
230.63 m
↓
S 40.961234°
W 14.653015°		 ← 230.64 m →
53 194 m²		 S 40.961234°
W 14.650268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459300994873047 y=0.624927520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459300994873047 × 217)
    floor (0.459300994873047 × 131072)
    floor (60201.5)     		tx = 60201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624927520751953 × 217)
    floor (0.624927520751953 × 131072)
    floor (81910.5)     		ty = 81910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60201 / 81910 ti = "17/60201/81910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60201/81910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60201 ÷ 217
    60201 ÷ 131072     		x = 0.459297180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81910 ÷ 217
    81910 ÷ 131072     		y = 0.624923706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459297180175781 × 2 - 1) × π
    -0.0814056396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25574336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624923706054688 × 2 - 1) × π
    -0.249847412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.784918794378799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25574336} λ = -0.25574336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784918794378799))-π/2
    2×atan(0.456156742773312)-π/2
    2×0.427962064968837-π/2
    0.855924129937674-1.57079632675     		φ = -0.71487220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25574336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.653015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71487220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.959160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60201 KachelY 81910 -0.25574336 -0.71487220 -14.653015 -40.959160
    Oben rechts KachelX + 1 60202 KachelY 81910 -0.25569542 -0.71487220 -14.650268 -40.959160
    Unten links KachelX 60201 KachelY + 1 81911 -0.25574336 -0.71490840 -14.653015 -40.961234
    Unten rechts KachelX + 1 60202 KachelY + 1 81911 -0.25569542 -0.71490840 -14.650268 -40.961234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71487220--0.71490840) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dl = 230.630200000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71487220--0.71490840) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dr = 230.630200000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25574336--0.25569542) × cos(-0.71487220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75517702295077 × 6371000     		do = 230.650501065585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25574336--0.25569542) × cos(-0.71490840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755153292599011 × 6371000     		du = 230.643253205338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71487220)-sin(-0.71490840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75517702295077-0.755153292599011)×R²
    abs(-0.25569542--0.25574336)×2.3730351759399e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3730351759399e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3730351759399e-05×40589641000000     		ar = 53194.135409035m²