Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60201 / 34249
↖ ↑ ↗
← N 64.838429°
W 14.653015°		 ← 129.86 m → N 64.838429°
W 14.650268°		 →
↑
129.84 m
↓
↑
129.84 m
↓
N 64.837261°
W 14.653015°		 ← 129.86 m →
16 861 m²		 N 64.837261°
W 14.650268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459300994873047 y=0.261302947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459300994873047 × 217)
    floor (0.459300994873047 × 131072)
    floor (60201.5)     		tx = 60201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261302947998047 × 217)
    floor (0.261302947998047 × 131072)
    floor (34249.5)     		ty = 34249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60201 / 34249 ti = "17/60201/34249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60201/34249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60201 ÷ 217
    60201 ÷ 131072     		x = 0.459297180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34249 ÷ 217
    34249 ÷ 131072     		y = 0.261299133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459297180175781 × 2 - 1) × π
    -0.0814056396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25574336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261299133300781 × 2 - 1) × π
    0.477401733398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.4998017784127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25574336} λ = -0.25574336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4998017784127))-π/2
    2×atan(4.48080079085774)-π/2
    2×1.3512202006375-π/2
    2.702440401275-1.57079632675     		φ = 1.13164407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25574336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.653015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13164407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.838429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60201 KachelY 34249 -0.25574336 1.13164407 -14.653015 64.838429
    Oben rechts KachelX + 1 60202 KachelY 34249 -0.25569542 1.13164407 -14.650268 64.838429
    Unten links KachelX 60201 KachelY + 1 34250 -0.25574336 1.13162369 -14.653015 64.837261
    Unten rechts KachelX + 1 60202 KachelY + 1 34250 -0.25569542 1.13162369 -14.650268 64.837261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13164407-1.13162369) × R
    2.037999999982e-05 × 6371000     		dl = 129.840979998853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13164407-1.13162369) × R
    2.037999999982e-05 × 6371000     		dr = 129.840979998853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25574336--0.25569542) × cos(1.13164407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425172315028431 × 6371000     		do = 129.858568944986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25574336--0.25569542) × cos(1.13162369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425190761131361 × 6371000     		du = 129.864202859624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13164407)-sin(1.13162369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425172315028431-0.425190761131361)×R²
    abs(-0.25569542--0.25574336)×1.84461029308358e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84461029308358e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84461029308358e-05×40589641000000     		ar = 16861.3296101525m²