Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60199 / 83453
↖ ↑ ↗
← S 44.081666°
W 14.658508°		 ← 219.36 m → S 44.081666°
W 14.655762°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 44.083639°
W 14.658508°		 ← 219.35 m →
48 116 m²		 S 44.083639°
W 14.655762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459285736083984 y=0.636699676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459285736083984 × 217)
    floor (0.459285736083984 × 131072)
    floor (60199.5)     		tx = 60199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636699676513672 × 217)
    floor (0.636699676513672 × 131072)
    floor (83453.5)     		ty = 83453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60199 / 83453 ti = "17/60199/83453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60199/83453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60199 ÷ 217
    60199 ÷ 131072     		x = 0.459281921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83453 ÷ 217
    83453 ÷ 131072     		y = 0.636695861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459281921386719 × 2 - 1) × π
    -0.0814361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25583923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636695861816406 × 2 - 1) × π
    -0.273391723632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.858885430492546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25583923} λ = -0.25583923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858885430492546))-π/2
    2×atan(0.423633988808851)-π/2
    2×0.400713054956128-π/2
    0.801426109912255-1.57079632675     		φ = -0.76937022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25583923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.658508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76937022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.081666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60199 KachelY 83453 -0.25583923 -0.76937022 -14.658508 -44.081666
    Oben rechts KachelX + 1 60200 KachelY 83453 -0.25579130 -0.76937022 -14.655762 -44.081666
    Unten links KachelX 60199 KachelY + 1 83454 -0.25583923 -0.76940465 -14.658508 -44.083639
    Unten rechts KachelX + 1 60200 KachelY + 1 83454 -0.25579130 -0.76940465 -14.655762 -44.083639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76937022--0.76940465) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76937022--0.76940465) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25583923--0.25579130) × cos(-0.76937022) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.718348939262663 × 6371000     		do = 219.356490341474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25583923--0.25579130) × cos(-0.76940465) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.71832498647207 × 6371000     		du = 219.349176068714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76937022)-sin(-0.76940465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718348939262663-0.71832498647207)×R²
    abs(-0.25579130--0.25583923)×2.39527905928627e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39527905928627e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39527905928627e-05×40589641000000     		ar = 48115.8182836915m²