Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60199 / 30253
↖ ↑ ↗
← N 69.118548°
W 14.658508°		 ← 108.84 m → N 69.118548°
W 14.655762°		 →
↑
108.88 m
↓
↑
108.88 m
↓
N 69.117569°
W 14.658508°		 ← 108.85 m →
11 851 m²		 N 69.117569°
W 14.655762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459285736083984 y=0.230815887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459285736083984 × 217)
    floor (0.459285736083984 × 131072)
    floor (60199.5)     		tx = 60199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230815887451172 × 217)
    floor (0.230815887451172 × 131072)
    floor (30253.5)     		ty = 30253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60199 / 30253 ti = "17/60199/30253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60199/30253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60199 ÷ 217
    60199 ÷ 131072     		x = 0.459281921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30253 ÷ 217
    30253 ÷ 131072     		y = 0.230812072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459281921386719 × 2 - 1) × π
    -0.0814361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25583923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230812072753906 × 2 - 1) × π
    0.538375854492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.69135762929444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25583923} λ = -0.25583923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69135762929444))-π/2
    2×atan(5.42684334763585)-π/2
    2×1.38857128353976-π/2
    2.77714256707952-1.57079632675     		φ = 1.20634624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25583923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.658508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20634624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.118548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60199 KachelY 30253 -0.25583923 1.20634624 -14.658508 69.118548
    Oben rechts KachelX + 1 60200 KachelY 30253 -0.25579130 1.20634624 -14.655762 69.118548
    Unten links KachelX 60199 KachelY + 1 30254 -0.25583923 1.20632915 -14.658508 69.117569
    Unten rechts KachelX + 1 60200 KachelY + 1 30254 -0.25579130 1.20632915 -14.655762 69.117569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20634624-1.20632915) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dl = 108.880390000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20634624-1.20632915) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dr = 108.880390000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25583923--0.25579130) × cos(1.20634624) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.356435553539795 × 6371000     		do = 108.841884193026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25583923--0.25579130) × cos(1.20632915) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.356451521015023 × 6371000     		du = 108.846760053676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20634624)-sin(1.20632915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356435553539795-0.356451521015023)×R²
    abs(-0.25579130--0.25583923)×1.59674752273076e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59674752273076e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59674752273076e-05×40589641000000     		ar = 11851.0122424695m²