Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60198 / 81909
↖ ↑ ↗
← S 40.957086°
W 14.661255°		 ← 230.66 m → S 40.957086°
W 14.658508°		 →
↑
230.63 m
↓
↑
230.63 m
↓
S 40.959160°
W 14.661255°		 ← 230.65 m →
53 196 m²		 S 40.959160°
W 14.658508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459278106689453 y=0.624919891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459278106689453 × 217)
    floor (0.459278106689453 × 131072)
    floor (60198.5)     		tx = 60198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624919891357422 × 217)
    floor (0.624919891357422 × 131072)
    floor (81909.5)     		ty = 81909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60198 / 81909 ti = "17/60198/81909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60198/81909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60198 ÷ 217
    60198 ÷ 131072     		x = 0.459274291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81909 ÷ 217
    81909 ÷ 131072     		y = 0.624916076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459274291992188 × 2 - 1) × π
    -0.081451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25588717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624916076660156 × 2 - 1) × π
    -0.249832153320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.784870857479179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25588717} λ = -0.25588717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784870857479179))-π/2
    2×atan(0.456178610037422)-π/2
    2×0.427980165675848-π/2
    0.855960331351697-1.57079632675     		φ = -0.71483600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25588717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.661255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71483600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.957086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60198 KachelY 81909 -0.25588717 -0.71483600 -14.661255 -40.957086
    Oben rechts KachelX + 1 60199 KachelY 81909 -0.25583923 -0.71483600 -14.658508 -40.957086
    Unten links KachelX 60198 KachelY + 1 81910 -0.25588717 -0.71487220 -14.661255 -40.959160
    Unten rechts KachelX + 1 60199 KachelY + 1 81910 -0.25583923 -0.71487220 -14.658508 -40.959160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71483600--0.71487220) × R
    3.61999999999307e-05 × 6371000     		dl = 230.630199999559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71483600--0.71487220) × R
    3.61999999999307e-05 × 6371000     		dr = 230.630199999559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25588717--0.25583923) × cos(-0.71483600) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.755200752312915 × 6371000     		do = 230.657748623845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25588717--0.25583923) × cos(-0.71487220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.75517702295077 × 6371000     		du = 230.650501065852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71483600)-sin(-0.71487220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755200752312915-0.75517702295077)×R²
    abs(-0.25583923--0.25588717)×2.37293621451196e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37293621451196e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37293621451196e-05×40589641000000     		ar = 53195.8069495482m²