Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60196 / 27106
↖ ↑ ↗
← N 71.990880°
W 14.666748°		 ← 94.41 m → N 71.990880°
W 14.664002°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 71.990030°
W 14.666748°		 ← 94.41 m →
8 914 m²		 N 71.990030°
W 14.664002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459262847900391 y=0.206806182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459262847900391 × 217)
    floor (0.459262847900391 × 131072)
    floor (60196.5)     		tx = 60196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206806182861328 × 217)
    floor (0.206806182861328 × 131072)
    floor (27106.5)     		ty = 27106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60196 / 27106 ti = "17/60196/27106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60196/27106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60196 ÷ 217
    60196 ÷ 131072     		x = 0.459259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27106 ÷ 217
    27106 ÷ 131072     		y = 0.206802368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459259033203125 × 2 - 1) × π
    -0.08148193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25598304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206802368164062 × 2 - 1) × π
    0.586395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84221505239876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25598304} λ = -0.25598304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84221505239876))-π/2
    2×atan(6.31050088146465)-π/2
    2×1.41363710548537-π/2
    2.82727421097074-1.57079632675     		φ = 1.25647788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25598304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.666748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25647788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.990880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60196 KachelY 27106 -0.25598304 1.25647788 -14.666748 71.990880
    Oben rechts KachelX + 1 60197 KachelY 27106 -0.25593511 1.25647788 -14.664002 71.990880
    Unten links KachelX 60196 KachelY + 1 27107 -0.25598304 1.25646306 -14.666748 71.990030
    Unten rechts KachelX + 1 60197 KachelY + 1 27107 -0.25593511 1.25646306 -14.664002 71.990030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25647788-1.25646306) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dl = 94.4182200005224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25647788-1.25646306) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dr = 94.4182200005224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25598304--0.25593511) × cos(1.25647788) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.309168381001161 × 6371000     		do = 94.4082844342765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25598304--0.25593511) × cos(1.25646306) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.30918247489561 × 6371000     		du = 94.4125881744959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25647788)-sin(1.25646306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309168381001161-0.30918247489561)×R²
    abs(-0.25593511--0.25598304)×1.4093894448397e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.4093894448397e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.4093894448397e-05×40589641000000     		ar = 8914.06534553024m²