Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60195 / 85523
↖ ↑ ↗
← S 48.024835°
W 14.669495°		 ← 204.27 m → S 48.024835°
W 14.666748°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
S 48.026672°
W 14.669495°		 ← 204.26 m →
41 723 m²		 S 48.026672°
W 14.666748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459255218505859 y=0.652492523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459255218505859 × 217)
    floor (0.459255218505859 × 131072)
    floor (60195.5)     		tx = 60195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652492523193359 × 217)
    floor (0.652492523193359 × 131072)
    floor (85523.5)     		ty = 85523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60195 / 85523 ti = "17/60195/85523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60195/85523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60195 ÷ 217
    60195 ÷ 131072     		x = 0.459251403808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85523 ÷ 217
    85523 ÷ 131072     		y = 0.652488708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459251403808594 × 2 - 1) × π
    -0.0814971923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25603098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652488708496094 × 2 - 1) × π
    -0.304977416992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.958114812706062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25603098} λ = -0.25603098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958114812706062))-π/2
    2×atan(0.38361539159392)-π/2
    2×0.366302414128866-π/2
    0.732604828257733-1.57079632675     		φ = -0.83819150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25603098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.669495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83819150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.024835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60195 KachelY 85523 -0.25603098 -0.83819150 -14.669495 -48.024835
    Oben rechts KachelX + 1 60196 KachelY 85523 -0.25598304 -0.83819150 -14.666748 -48.024835
    Unten links KachelX 60195 KachelY + 1 85524 -0.25603098 -0.83822356 -14.669495 -48.026672
    Unten rechts KachelX + 1 60196 KachelY + 1 85524 -0.25598304 -0.83822356 -14.666748 -48.026672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83819150--0.83822356) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dl = 204.254260000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83819150--0.83822356) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dr = 204.254260000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25603098--0.25598304) × cos(-0.83819150) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668808420663907 × 6371000     		do = 204.271306799608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25603098--0.25598304) × cos(-0.83822356) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668784585800624 × 6371000     		du = 204.264027018852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83819150)-sin(-0.83822356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668808420663907-0.668784585800624)×R²
    abs(-0.25598304--0.25603098)×2.38348632827234e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38348632827234e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38348632827234e-05×40589641000000     		ar = 41722.5411500326m²