Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60194 / 85536
↖ ↑ ↗
← S 48.048710°
W 14.672241°		 ← 204.18 m → S 48.048710°
W 14.669495°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
S 48.050546°
W 14.672241°		 ← 204.17 m →
41 677 m²		 S 48.050546°
W 14.669495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459247589111328 y=0.652591705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459247589111328 × 217)
    floor (0.459247589111328 × 131072)
    floor (60194.5)     		tx = 60194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652591705322266 × 217)
    floor (0.652591705322266 × 131072)
    floor (85536.5)     		ty = 85536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60194 / 85536 ti = "17/60194/85536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60194/85536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60194 ÷ 217
    60194 ÷ 131072     		x = 0.459243774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85536 ÷ 217
    85536 ÷ 131072     		y = 0.652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459243774414062 × 2 - 1) × π
    -0.081512451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25607892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.30517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25607892} λ = -0.25607892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958737992401123))-π/2
    2×atan(0.383376404744776)-π/2
    2×0.366094068487052-π/2
    0.732188136974103-1.57079632675     		φ = -0.83860819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25607892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.672241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83860819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.048710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60194 KachelY 85536 -0.25607892 -0.83860819 -14.672241 -48.048710
    Oben rechts KachelX + 1 60195 KachelY 85536 -0.25603098 -0.83860819 -14.669495 -48.048710
    Unten links KachelX 60194 KachelY + 1 85537 -0.25607892 -0.83864023 -14.672241 -48.050546
    Unten rechts KachelX + 1 60195 KachelY + 1 85537 -0.25603098 -0.83864023 -14.669495 -48.050546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83860819--0.83864023) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83860819--0.83864023) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25607892--0.25603098) × cos(-0.83860819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668498580764785 × 6371000     		do = 204.1766737189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25607892--0.25603098) × cos(-0.83864023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668474751843762 × 6371000     		du = 204.169395753063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83860819)-sin(-0.83864023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668498580764785-0.668474751843762)×R²
    abs(-0.25603098--0.25607892)×2.38289210232612e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38289210232612e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38289210232612e-05×40589641000000     		ar = 41677.1963974554m²