Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60194 / 40290
↖ ↑ ↗
← N 56.797871°
W 14.672241°		 ← 167.25 m → N 56.797871°
W 14.669495°		 →
↑
167.24 m
↓
↑
167.24 m
↓
N 56.796367°
W 14.672241°		 ← 167.26 m →
27 971 m²		 N 56.796367°
W 14.669495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459247589111328 y=0.307392120361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459247589111328 × 217)
    floor (0.459247589111328 × 131072)
    floor (60194.5)     		tx = 60194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307392120361328 × 217)
    floor (0.307392120361328 × 131072)
    floor (40290.5)     		ty = 40290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60194 / 40290 ti = "17/60194/40290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60194/40290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60194 ÷ 217
    60194 ÷ 131072     		x = 0.459243774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40290 ÷ 217
    40290 ÷ 131072     		y = 0.307388305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459243774414062 × 2 - 1) × π
    -0.081512451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25607892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307388305664062 × 2 - 1) × π
    0.385223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21021496780794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25607892} λ = -0.25607892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21021496780794))-π/2
    2×atan(3.35420562128349)-π/2
    2×1.28105308675412-π/2
    2.56210617350823-1.57079632675     		φ = 0.99130985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25607892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.672241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99130985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.797871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60194 KachelY 40290 -0.25607892 0.99130985 -14.672241 56.797871
    Oben rechts KachelX + 1 60195 KachelY 40290 -0.25603098 0.99130985 -14.669495 56.797871
    Unten links KachelX 60194 KachelY + 1 40291 -0.25607892 0.99128360 -14.672241 56.796367
    Unten rechts KachelX + 1 60195 KachelY + 1 40291 -0.25603098 0.99128360 -14.669495 56.796367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99130985-0.99128360) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dl = 167.238750000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99130985-0.99128360) × R
    2.62500000000054e-05 × 6371000     		dr = 167.238750000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25607892--0.25603098) × cos(0.99130985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.547594321571198 × 6371000     		do = 167.249400885571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25607892--0.25603098) × cos(0.99128360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.547616285911551 × 6371000     		du = 167.256109360477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99130985)-sin(0.99128360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547594321571198-0.547616285911551)×R²
    abs(-0.25603098--0.25607892)×2.19643403529535e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19643403529535e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19643403529535e-05×40589641000000     		ar = 27971.1417024558m²