Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60192 / 83424
↖ ↑ ↗
← S 44.024422°
W 14.677734°		 ← 219.61 m → S 44.024422°
W 14.674988°		 →
↑
219.54 m
↓
↑
219.54 m
↓
S 44.026396°
W 14.677734°		 ← 219.61 m →
48 214 m²		 S 44.026396°
W 14.674988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459232330322266 y=0.636478424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459232330322266 × 217)
    floor (0.459232330322266 × 131072)
    floor (60192.5)     		tx = 60192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636478424072266 × 217)
    floor (0.636478424072266 × 131072)
    floor (83424.5)     		ty = 83424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60192 / 83424 ti = "17/60192/83424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60192/83424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60192 ÷ 217
    60192 ÷ 131072     		x = 0.459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83424 ÷ 217
    83424 ÷ 131072     		y = 0.636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.08154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25617479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.27294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.857495260403564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25617479} λ = -0.25617479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857495260403564))-π/2
    2×atan(0.424223321650302)-π/2
    2×0.401212610004309-π/2
    0.802425220008619-1.57079632675     		φ = -0.76837111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25617479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.677734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76837111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.024422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60192 KachelY 83424 -0.25617479 -0.76837111 -14.677734 -44.024422
    Oben rechts KachelX + 1 60193 KachelY 83424 -0.25612685 -0.76837111 -14.674988 -44.024422
    Unten links KachelX 60192 KachelY + 1 83425 -0.25617479 -0.76840557 -14.677734 -44.026396
    Unten rechts KachelX + 1 60193 KachelY + 1 83425 -0.25612685 -0.76840557 -14.674988 -44.026396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76837111--0.76840557) × R
    3.44599999999584e-05 × 6371000     		dl = 219.544659999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76837111--0.76840557) × R
    3.44599999999584e-05 × 6371000     		dr = 219.544659999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25617479--0.25612685) × cos(-0.76837111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719043644428608 × 6371000     		do = 219.61443719176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25617479--0.25612685) × cos(-0.76840557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719019695510605 × 6371000     		du = 219.607122575757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76837111)-sin(-0.76840557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719043644428608-0.719019695510605)×R²
    abs(-0.25612685--0.25617479)×2.39489180025032e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39489180025032e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39489180025032e-05×40589641000000     		ar = 48214.3740066304m²